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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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e la retta congiungente i loro fuochi è rappresentata dalle:

5)	$A-\omega B+\omega ^{2}C=0$          $B-\omega C+\omega ^{2}D=0.$

Affinchè questa retta passi anche pe’ fuochi di due altri piani congiunti, le cui equazioni siano (1) e (2), il sistema delle equazioni (5) dovrà essere equivalente al sistema delle (3); epperò si dovrà avere:

$q=p\omega ,$          $r=p\omega ^{2}$

il che dà:

$p=\sigma ^{2}-3\omega \sigma +9\omega ^{2},$          $\sigma _{1}=\omega (\sigma -3\omega ),$          $\sigma _{2}=-\omega ^{3}$
$s={\frac {3\omega (\sigma -6\omega )}{2\sigma -3\omega }},$          $s_{1}=\omega (s-3\omega ),$          $s_{2}=\sigma _{2}$

per cui le equazioni (1) e (2) divengono:

6)	${\begin{aligned}A-3\omega ^{2}C+\omega ^{3}D-\sigma (B-\omega C)&=0,\\A-3\omega ^{2}C+\omega ^{3}D-s(B-\omega C)&=0\end{aligned}}$

rimanendo $\sigma$ indeterminata. Queste equazioni rappresentano infinite coppie di piani tutti passanti per la retta rappresentata dalle:

$A-3\omega ^{2}C+\omega ^{3}D=0,$          $B-\omega C=0$

ossia:

$2A-3\omega B-3\omega ^{2}C+2\omega ^{3}D=0,$          $B-\omega C=0.$

Ne concludiamo che:

Qualunque retta che sia corda della cubica gobba contiene i fuochi di infinite coppie di piani congiunti tutti passanti per una stessa retta, la quale è l’intersezione dei piani osculatori della cubica ne’ punti comuni a questa ed alla prima retta.

Da questo teorema consegue quest’altro:

Per qualunque retta che sia l’intersezione di due piani osculatori della cubica gobba passano infinite coppie di piani congiunti, tutti aventi i fuochi su di una stessa retta, la quale si appoggia alla cubica ne’ punti di contatto de’ due piani osculatori passanti per la prima retta.

7.º La relazione fra $s$ e $\sigma$, che si può scrivere così:

$2s\sigma -3\omega (s+\sigma )+18\omega ^{2}=0,$

mostra che i piani rappresentati dalle equazioni (6) formano una involuzione. Dunque:

Le infinite coppie di piani congiunti passanti per una stessa retta, che sia comune intersezione di due piani osculatori della cubica gobba, sono in involuzione. I piani auto-