Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/89

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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 75


e la retta congiungente i loro fuochi è rappresentata dalle:

5)
A — ωB + ω2C = 0          B — ωC + ω2D = 0.


Affinchè questa retta passi anche pe’ fuochi di due altri piani congiunti, le cui equazioni siano (1) e (2), il sistema delle equazioni (5) dovrà essere equivalente al sistema delle (3); epperò si dovrà avere:

q = pω,          r = pω2


il che dà:

p = σ2 — 3ωσ + 9ω2,          σ1 = ω(σ — 3ω),          σ2 = — ω3

          s1 = ω(s — 3ω),          s2 = σ2


per cui le equazioni (1) e (2) divengono:

6)
A — 3ω2C + ω3D — σ(B — ωC) =0,
A — 3ω2C + ω3D — s(B — ωC) =0


rimanendo σ indeterminata. Queste equazioni rappresentano infinite coppie di piani tutti passanti per la retta rappresentata dalle:

A — 3ω2C + ω3D = 0,          B — ωC = 0


ossia:

2A — 3ωB — 3ω2C + 2ω3D = 0,          B — ωC = 0.


Ne concludiamo che:

Qualunque retta che sia corda della cubica gobba contiene i fuochi di infinite coppie di piani congiunti tutti passanti per una stessa retta, la quale è l’intersezione dei piani osculatori della cubica ne’ punti comuni a questa ed alla prima retta.

Da questo teorema consegue quest’altro:

Per qualunque retta che sia l’intersezione di due piani osculatori della cubica gobba passano infinite coppie di piani congiunti, tutti aventi i fuochi su di una stessa retta, la quale si appoggia alla cubica ne’ punti di contatto de’ due piani osculatori passanti per la prima retta.

7.º La relazione fra s e σ, che si può scrivere così:

2sσ — 3ω(s + σ) + 18ω2 = 0,


mostra che i piani rappresentati dalle equazioni (6) formano una involuzione. Dunque:

Le infinite coppie di piani congiunti passanti per una stessa retta, che sia comune intersezione di due piani osculatori della cubica gobba, sono in involuzione. I piani auto-