Vai al contenuto

Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/89

Da Wikisource.

teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 75

e la retta congiungente i loro fuochi è rappresentata dalle:

5)
          

Affinchè questa retta passi anche pe’ fuochi di due altri piani congiunti, le cui equazioni siano (1) e (2), il sistema delle equazioni (5) dovrà essere equivalente al sistema delle (3); epperò si dovrà avere:

          

il che dà:

                    
                    

per cui le equazioni (1) e (2) divengono:

6)

rimanendo indeterminata. Queste equazioni rappresentano infinite coppie di piani tutti passanti per la retta rappresentata dalle:

          

ossia:

          

Ne concludiamo che:

Qualunque retta che sia corda della cubica gobba contiene i fuochi di infinite coppie di piani congiunti tutti passanti per una stessa retta, la quale è l’intersezione dei piani osculatori della cubica ne’ punti comuni a questa ed alla prima retta.

Da questo teorema consegue quest’altro:

Per qualunque retta che sia l’intersezione di due piani osculatori della cubica gobba passano infinite coppie di piani congiunti, tutti aventi i fuochi su di una stessa retta, la quale si appoggia alla cubica ne’ punti di contatto de’ due piani osculatori passanti per la prima retta.

7.º La relazione fra e , che si può scrivere così:

mostra che i piani rappresentati dalle equazioni (6) formano una involuzione. Dunque:

Le infinite coppie di piani congiunti passanti per una stessa retta, che sia comune intersezione di due piani osculatori della cubica gobba, sono in involuzione. I piani auto-