Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/98

84

intorno alle superficie della seconda classe ecc.

ovvero più semplicemente:

w = 0,     t + w = 0,     u + w = 0,     v + w = 0

ove si assumano per variabili lt, mu, nv in luogo di t, u, v.

3.º Due qualisivogliano fra le quattro coniche determinano le altre due ed anco tutto il sistema di superficie della seconda classe inscritte nella sviluppabile, la quale può risguardarsi come l’inviluppo dei piani tangenti comuni alle due coniche date. Ciò premesso, le equazioni delle quattro coniche saranno, in tutta la loro generalità, esprimibili cosi:

1)	${\begin{matrix}1.^{a}&\alpha (t+w)^{2}&+&\beta (u+w)^{2}&+&\gamma (v+w)^{2}&&*&=0\\2.^{a}&*&&c(u+w)^{2}&-&b(v+w)^{2}&+&\alpha w^{2}&=0\\3.^{a}&-c(t+w)^{2}&&*&+&a(v+w)^{2}&+&\beta w^{2}&=0\\4.^{a}&b(t+w)^{2}&-&a(u+w)^{2}&&*&+&\gamma w^{2}&=0\end{matrix}}$

ove α, β,... siano costanti reali qualsivogliano, legate dalla condizione:

2)	aα + bβ + cγ = 0.

Se in luogo di due coniche, supponiamo date due superficie qualunque della seconda classe, riferendole al tetraedro polare, le loro equazioni saranno della forma:

λ(t + w)² + μ(u + w)² + ν(v + w)² + πw² = 0

λ’(t + w)² + μ’(u + w)² + ν’(v + w)² + π’w² = 0

ed eliminando da queste successivamente w², (t + w)², (u + w)², (v + w)² si otterranno le (1).

L’equazione del centro di una superficie della seconda classe rappresentata da un’equazione fra le coordinate t, u, v, w, si ottiene eguagliandone a zero la derivata rispetto a w; quindi se nella equazione della superficie manca il termine contenente w², il centro sara a distanza infinita. Se adunque fra due delle (1) si elimina w², l’equazione risultante:

3)	α’t(t + 2w) + β’u(u + 2w) + γ’v(v + 2w) = 0

ove:

4)	α’ = c — b + α,     β’ = a — c + β,     γ’ = b — a + γ

rappresenterà il paraboloide che fa parte del sistema di superficie inscritte nella sviluppabile.

Onde rappresentare, con tutta la desiderabile simmetria, una qualunque delle super-