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Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/146

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curve d’ordine generate dai fasci di polari. Ne segue che queste curve hanno intersezioni coincidenti in . Ma in questo punto sono anche riuniti punti-base del fascio delle polari di ; dunque:

Se una curva di un fascio passa volte per uno de’ punti base ed ha ivi tangenti riunite, quel punto tien luogo di punti doppi del fascio. [43]

Sulle reti geometriche d'ordine qualunque.


13. Una rete di curve d’ordine (Introd. 92) è dessa in generale una rete di prime polari? Siccome una rete è determinata da tre curve, così è da ricercarsi se, date tre curve d’ordine e non appartenenti ad uno stesso fascio, sia possibile di determinare tre punti (non in linea retta) ed una curva d’ordine rispetto alla quale le tre curve date siano le prime polari di .

La curva fondamentale ed i tre poli dipendono da condizioni: mentre se si domanda l’identità delle tre curve date colle polari dei tre punti, bisognerà sodisfare a condizioni. La differenza di questi numeri è nulla soltanto per . Eccettuato adunque il caso di , una rete di curve non è in generale una rete di prime polari. [44]

14. Consideriamo pertanto una rete affatto generale, la quale sia individuata da tre curve d’ordine ; e sia un’altra curva della rete, tale che tre qualunque delle quattro curve non appartengano ad uno stesso fascio. Fissiamo ad arbitrio nel piano quattro punti , tre qualunque dei quali non siano in linea retta, e consideriamoli come corrispondenti alle quattro curve anzidette. Ciò premesso, i punti del piano e le curve della rete si possono far corrispondere fra loro, in modo che a punti in linea retta corrispondano curve di un fascio (proiettivo alla punteggiata). Se consideriamo dapprima una retta che unisca due de’ punti dati, per es. , la projettività fra i punti della retta e le curve del fascio sarà determinata dalla condizione che ai punti corrispondano le curve , ed al punto d’intersezione delle rette corrisponda la curva comune ai fasci : poste le quali cose, ad un altro punto qualunque di corrisponderà una curva affatto individuata del fascio .

Per una retta qualunque , ai punti in cui essa è segata da tre lati dei quadrangolo corrispondono tre curve già determinate in ciò che precede, le quali apparterranno necessariamente ad uno stesso fascio: quindi ad un quarto punto qualsivoglia in corrisponderà una determinata curva del fascio medesimo; e viceversa. — E la curva corrispondente ad un dato punto si troverà considerando questo