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consistente in una retta $P$ presa due volte: conica che indicheremo col simbolo $P^{2}$. Se anche in questo caso le coniche della rete formano un sistema di polari, ciascun punto della retta $P$ dev’essere il polo di una conica dotata di punto doppio [nel polo $p$ della conica $P^{2}$] (Introd. 78); ma d’altronde le coniche polari dei punti di una retta formano un fascio: dunque nella rete vi dev’essere un fascio di coniche tutte dotate di punto doppio [in $p$]. Un tal fascio non può essere che un fascio di coppie di rette [passanti per $p$] in involuzione: ed i raggi doppi, $Q,R$, daranno due nuove coniche $Q^{2},R^{2}$ della rete. [50] Donde segue (Introd. 79) che le rette $P,Q,R$ formano un trilatero, ciascun lato del quale preso due volte costituisce la conica polare del vertice opposto.

Queste tre coniche $P^{2},Q^{2},R^{2}$, in causa della loro speciale natura, non bastano per individuare tutto il sistema dei poli: cioè qui il problema di trovare la curva fondamentale rimane indeterminato. Esso diverrà determinato se per un’altra conica della rete (che non sia un pajo di rette) si assume ad arbitrio il polo (fuori delle rette $PQR$). [51]

La conica della rete che debba passare per due punti dati $o,o'$ si determina col metodo ordinario (Introd. 77, a). La conica del fascio $(P^{2},Q^{2})$ che passa per $o$ è un pajo di rette formanti sistema armonico con $P,Q$, e così pure la conica del fascio $(P^{2},R^{2})$ passante per $o$ è un pajo di rette coniugate armoniche rispetto alle due $P,R$. Queste due coniche intersecandosi determinano un quadrangolo completo, il cui triangolo diagonale è $PQR$. Ora la conica richiesta è quella che passa pei vertici di questo quadrangolo e per $o'$: dunque, per essa, $PQR$ è un triangolo coniugato. Cioè tutte le coniche della rete sono coniugate ad uno stesso triangolo.

La curva Hessiana si compone in questo caso delle tre rette $P,Q,R$, [52] e per conseguenza (Introd. 145) la cubica fondamentale è equianarmonica.

Di qui risulta che la rete non può contenere una quarta conica che sia una retta presa due volte. Ciò è anche evidente perchè una tal retta farebbe necessariamente parte della Hessiana la quale, essendo una linea del terz’ordine, non può contenere più di tre rette.

23. Supposta adunque l’esistenza di una conica $P^{2}$ in una rete di coniche, affinchè queste siano un sistema di polari, è d’uopo che i punti di $P$ siano poli di coniche consistenti in coppie di rette d’un fascio in involuzione. Se questa involuzione ha due raggi doppi $Q,R$, distinti fra loro e dalla retta $P$, otteniamo il caso or ora considerato (22). Supponiamo ora invece che i due raggi doppi coincidano, ossia che tutte le coppie anzidette abbiano una retta comune $Q$: in questo caso, de’ tre lati del trilatero $PQR$ due, $Q,R$, coincidono, epperò la Hessiana consterà della retta $Q$ presa due volte e della retta $P$. (Si ottiene questo medesimo caso se uno de’ raggi doppi dell’involuzione, supposti distinti, coincide colla retta $P$).