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Si unisca il punto $v_{2n+2}$ al punto $a_{1}$ mediante una retta che seghi di nuovo la curva in $v_{2n+3}$. Si tiri la retta $v_{2}v_{3}$ che incontri ulteriormente la curva in $a_{2}$; e sia $v_{2n+4}$ la terza intersezione della curva colla retta $v_{2n+3}a_{2}$. Continuando in questo modo si otterranno altre $3n$ trasversali contenenti le terne di punti

$(v_{2n+2}a_{1}v_{2n+3}),\quad (v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{2n+3}a_{2}v_{2n+4}),\quad (v_{2n+4}a_{3}v_{2n+5}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4})$, $(v_{2n+5}a_{4}v_{2n+6}),\dots (v_{4n+1}a_{2n}v_{4n+2})$.

Ora dei $3(2n+1)$ punti $v_{1}v_{2}\dots v_{4n+2}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n+1}$ risultanti dall’intersezione della cubica colle $2n+1$ rette

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\quad (v_{5}v_{6}a_{5}),\dots (v_{2n+1}v_{2n+2}a_{2n+1})$, $(v_{2n+3}v_{2n+4}a_{2}),\quad (v_{2n+5}v_{2n+6}a_{4}),\dots (v_{4n+1}v_{4n+2}a_{2n})$,

ve ne sono $6n$ distribuiti sulle $2n$ rette

$(v_{2n+2}v_{2n+3}a_{1}),\quad (v_{2n+4}v_{2n+5}a_{3}),\dots (v_{4n}v_{4n+1}a_{2n-1})$, $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{2n+1}a+{2n})$;

dunque gli altri tre punti $v_{1}v_{4n+2}a_{2n+1}$ si troveranno pur essi in linea retta (Introd. 44). Dunque:

Se dei $3(2n+1)$ punti che sono i vertici e le intersezioni delle coppie di lati opposti d’un poligono di $4n+2$ lati, ve ne sono $6n+2$ situati in una curva di terz’ordine, anche il punto rimanente apparterrà alla medesima curva.¹

28. Nel piano di una curva del terz’ordine si tirino due trasversali che seghino la curva nelle terne di punti $(v_{1}v_{2}a_{1}),(w_{2}w_{3}a_{2})$. Le due rette $w_{2}a_{1},v_{2}a_{2}$ incontrino la curva di nuovo in $w_{1},v_{3}$. Per $v_{3}$ si tiri ad arbitrio una trasversale che seghi la curva in $(v_{3}v_{4}a_{3})$; quindi congiunto $w_{3}$ con $a_{3}$, si ottenga la terna $(w_{3}w_{4}a_{3})$. Per $w_{4}$ si conduca ad arbitrio una trasversale che seghi la curva di nuovo nei punti $w_{5}a_{4}$, e congiunto $v_{4}$ con $a_{4}$, si ottenga la terza intersezione $v_{5}$. Si continui colla stessa legge finché siansi ottenute le terne $(v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})$, $(w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$. Congiungasi allora $v_{2n}$ con $v_{1}$ e la retta così ottenuta incontri di nuovo la curva in $a_{2n}$.

Ora, dei $6n$ punti $v_{1}v_{2}\dots v_{2n}$, $w_{1}w_{2}\dots w_{2n}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n}$, che risultano dall’intersecare la cubica col sistema delle $2n$ rette

$(w_{1}w_{2}a_{1}),\quad (w_{3}w_{4}a_{3}),\dots (w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$, $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{1}a_{2n})$,

1. Questo teorema, generalizzazione di uno notissimo dovuto a Poncelet (Introd. 45, c), mi è stato comunicato dal ch. prof. Brioschi.