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sono perfettamente reciproche: ossia che le soluzioni delle equazioni (1), (2) sono coniugate a due a due nel modo seguente:

Se le curve d’ordine $n$ di una rete hanno in comune $x_{1}$ punti semplici, $x_{2}$ punti doppi, ... $x_{r}$ punti $(r)$^pli, ... $x_{n-1}$ punti $(n-1)$^pli, ove $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r},\dots x_{n-1})$ è una soluzione delle equazioni (1), (2), allora la Jacobiana della rete è composta di $y_{1}$ rette, $y_{2}$ coniche , ... $y_{r}$ curve d’ordine $r$, ... ed $y_{n-1}$ curve d’ordine $n-1$, ove $(y_{1},y_{2},\dots y_{r},\dots y_{n-1})$ è un altra soluzione delle medesime equazioni (1), (2). Inoltre questa seconda soluzione è tale che, se si considera una rete di curve d’ordine $n$ aventi in comune $y_{1}$ punti semplici, $y_{2}$ punti doppi, ... $y_{r}$ punti $(r)$^pli, ... ed $y_{n-1}$ punti $(n-1)$^pli, la Jacobiana di questa seconda rete sarà composta di $x_{1}$ rette, $x_{2}$ coniche, ... $x_{r}$ curve d’ordine $r$, ... ed $x_{n-1}$ curve d’ordine $n-1$.^[1]

Le due soluzioni $(x_{1},x_{2},\dots x_{r},\dots x_{n-1})$, $(y_{1},y_{2},\dots y_{r},\dots y_{n-1})$ definite nel precedente enunciato si chiameranno soluzioni coniugate. Esse sodisfanno alle relazioni seguenti

$\sum rx_{r}=\sum ry_{r}=3(n-1)$,

$\sum r^{2}x_{r}=\sum r^{2}y_{r}=n^{2}-1$,

$\sum x_{r}=\sum y_{r}$,

ma sono poi meglio caratterizzate da un’altra proprietà che sarà dimostrata in seguito.

13. Esaminiamo ora alcuni casi particolari. Sia $n=2$, cioè la rete sia formata da coniche passanti per tre punti $o_{1}o_{2}o_{3}$. La Jacobiana è costituita dalle tre rette $o_{2}o_{3}$, $o_{3}o_{1}$, $o_{1}o_{2}$, infatti un punto qualunque $m$ della retta $o_{2}o_{3}$ è doppio per una conica della rete, composta delle due rette $o_{2}o_{3}$, $o_{1}m$; ecc.

Ad $x_{1}=3$ corrisponde adunque $y_{1}=3$, ossia le equazioni (1), (2) ammettono in questo caso una (sola) coppia di soluzioni coniugate che coincidono in una soluzione unica.

$n=2$ $x_{1}=3$

14. Sia $n=3$; le (|1), (2) danno $x_{1}=4$, $x_{2}=1$, cioè la rete sia formata da cubiche aventi in comune un punto doppio $d$ e quattro punti ordinari $o_{1}o_{2}o_{3}o_{4}$. La Jacobiana si compone della conica $do_{1}o_{2}o_{3}o_{4}$ e delle quattro rette $d(o_{1},o_{2},o_{3},o_{4})$. Infatti, un punto

1. Questo teorema è stato comunicato dal ch. sig. Hirst, a mio nome, all'Associazione Britannica pel progresso delle scienze (in Bath, 19 settembre 1864). Vedi the Reader, 1 october 1864, p. 418. [Queste Opere, n. 60].