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perchè hanno in comune i punti principali della prima figura ed i punti doppi del sistema, ciò che equivale a

$\sum {\frac {r(r+1)}{2}}x_{r}+n+2={\frac {(n+1)(n+4)}{2}}-2$

condizioni comuni.

30. I due piani $P,P'$ ora non coincidano; e fissati nello spazio due punti $\pi ,\,\pi '$, si unisca $\pi$ ad un punto qualunque $a$ del piano $P$, e $\pi '$ al corrispondente punto $a'$ del piano $P'$. Se il punto $a$ varia in tutt’ i modi possibili nel piano $P$, le rette $\pi a,\pi 'a$ generano due fasci conici¹ aventi tra loro questa relazione che ad una retta qualunque nell’uno corrisponde una retta determinata (in generale unica) nell’altro e ad un piano nell’un fascio corrisponde nell’altro un cono d’ordine $n$: e tutt’i coni analoghi di un fascio che corrispondono ai piani dell’altro hanno in comune un certo numero $x_{r}$($r=1,2,\dots n-1$) di generatrici $(r)$^plo, ove i numeri $x_{r}$ sodisfanno alle equazioni (1), (2).

Se i due fasci conici ($\pi$), ($\pi '$) si segano con un piano trasversale qualunque, otterremo in questo due figure che si corrisponderanno punto per punto, in modo che alle rette dell’una corrisponderanno nell’altra curve d’ordine $n$; e siccome il sistema di queste due figure ammette $n+2$ punti doppi, così ne segue che il luogo dei punti ove si segano raggi omologhi de’ due fasci conici ($\pi$), ($\pi '$) è una curva gobba d’ordine $n+2$. È evidente poi che questa curva passa pei punti $\pi ,\pi '$ ed è ivi toccata dalle rette che corrispondono alla $\pi \pi '$, considerata come appartenente, prima al fascio $(\pi ')$, indi al fascio $(\pi )$.

Se $o_{r}$ è un punto principale di grado $r$ della prima figura (in $P$), al raggio $\pi o_{r}$ corrisponderà il cono avente il vertice in $\pi '$ e per base la curva principale d’ordine $r$ che (in $P'$) corrisponde ad $o_{r}$; le $r$ intersezioni di questo cono colla retta $\pi o_{r}$ saranno punti della curva gobba. Ond’è che questa ha $r+1$ punti sul raggio $\pi o_{r}$; ed altrettanti sul raggio $\pi 'o_{r}'$, se $o_{r}'$ è un punto principale di grado $r$ della seconda figura.

31. Arriviamo ai medesimi risultati se poniamo la quistione in questi altri termini: quale è il luogo di un punto $a$ nel piano $P$, se il raggio $\pi a$ incontra il raggio omologo $\pi 'a'$? Se $a''$ è l’intersezione del piano $P$ colla retta $\pi 'a'$, i punti $a''$ costituiranno una terza figura avente colla prima (costituita dai punti $a$) la stessa corrispondenza che

1. Strahlenbündel dei tedeschi (Staudt, Geometrie der Lage, p. 4, Nürnberg 1847).