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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. 59


punti multipli secondo , e sono le intersezioni del piano colla linea direttrice d’ordine (perchè analogamente questa è multipla secondo sulla superficie gobba);

punti semplici nelle intersezioni della retta comune ai piani , , colle rette che dai punti ove la direttrice d’ordine sega il piano , vanno ai punti ove l’altra direttrice sega lo stesso piano.

Questi punti non variano, variando , cioè sono comuni a tutte le curve d’ordine , del piano , corrispondenti alle rette del piano . Dunque avremo:

, ,

e gli altri saranno eguali a zero: così che le equazioni (1) e (2) daranno, avuto riguardo alla prima delle (6):

.

E questa, combinata colla medesima prima delle (6), somministra:

, .

Ciò significa che delle due direttrici, l’una sarà una curva dell’ordine e l’altra una retta, le quali abbiano punti comuni. Questa condizione può essere verificata da una retta e da una curva piana d’ordine (non situate in uno stesso piano), purché questa abbia un punto multiplo secondo il numero , e la retta direttrice passi per questo punto multiplo.

Del resto, la direttrice dell’ordine può essere una curva gobba; perchè, a cagion d’esempio, sulla superficie di un iperboloide si può descrivere1 una curva gobba dell’ordine , la quale sia incontrata da ciascuna delle generatrici di uno stesso sistema in punti (e per conseguenza da ciascuna generatrice dell’altro sistema in un solo punto). Potremo dunque assumere tale curva gobba ed una generatrice del primo sistema come direttrici della trasformazione.

In questa trasformazione, ad ogni punto del piano corrisponde un solo punto del piano e reciprocamente. Il qual punto si determina così. Il piano condotto pel punto e per la retta incontra la curva in un solo punto, all’ infuori della retta medesima : questo punto congiunto con somministra una retta che incontra il piano nel richiesto punto .

Se è una retta qualunque nel piano , la superficie gobba (d’ordine ) che ha per direttrici le linee , sega il piano secondo la curva (d’ordine ) corrispondente ad . Tutte le curve che analogamente corrispondono a rette hanno in comune

  1. Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 juin 1861. [Queste Opere, n. 30 (t. 1.°)].