Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/99

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sulla teoria delle coniche. 93

SULLA TEORIA DELLE CONICHE. 98

soluzioni, individuate dai punti doppi dell’altra involuzione che formano i punti a0 con quelli comuni alla retta a0 ed alle LM.

Dunque la suddetta serie di coniche d’ indice 4 si compone di due distinte serie, ciascuna d’ indice 2, corrispondenti ai due fasci di corde di contatto incrociate in f o in f *).

Le rette polari di un punto arbitrario a relative alle coniche di una qualunque delle due serie or nominate formeranno una nuova serie d’ indice 2. La serie di coniche e la serie di rette, essendo projettive, generano un luogo del sesto ordine, che però è composto di una curva del quarto e della retta ab presa due volte. Infatti, se m è un punto di ab, ciascuna delle due coniche della serie passanti per m riducesi al sistema di due rette coincidenti in ab, e come tale è incontrata dalla retta am in due punti sovrapposti in m; dunque m conta due volte come punto di contatto fra le rette uscenti da a e le coniche della serie (d’ indice 2) che si considera.

La curva del quart’ordine passa due volte per a; epperò una retta N condotta ad arbitrio per a toccherà altrove due coniche di quella serie, e similmente toccherà due coniche dell’altra serie. Dunque vi sono quattro coniche tangenti a tre rette date LM N e passanti per due punti dati ab.

3. Ciò torna a dire che le coniche descritte per un punto dato a e toccate da tre rette LMN formano una serie d’indice 4. Le rette polari di un punto i costituiranno un’altra serie dello stesso indice; e le due serie, perchè projettive, genereranno un luogo del dodicesimo ordine; il quale però si decomporrà in una curva del sesto ordine e nelle tre rette a(MN), a(NL), a(LM), ciascuna contata due volte. Ed invero se m è un punto di una di queste rette, per es. di a(MN), per m passano due sole (vedi l’annotazione a piè di pagina) effettive coniche della serie; ciascuna delle altre due coincide colla retta a(MN), risguardata come un sistema di due rette sovrapposte.

La curva del sesto ordine passa quattro volte per i; dunque una retta H arbitra- riamente condotta per questo punto toccherà altrove due sole coniche della serie. Ossia, per un punto dato passano due sole coniche che tocchino quattro rette date.

4. Donde si ricava che le coniche tangenti a quattro rette date LMNH formano una serie d’indice 2. Questa essendo projettiva all’altra, dello stesso indice, formata dalle rette polari di un punto e, le intersezioni degli elementi corrispondenti gene- reranno un luogo del sesto ordine: il quale è composto di una curva del terzo e delle

*) Se la retta ab passa pel punto LM, in questo coincide uno dei punti ff’; onde rimane soltanto la serie (d’indice 2) di coniche corrispondente all’altro punto, che con LM divide armo- nicamente il segvmento ab. Cioè, se la retta ab passa pel punto LM, vi sono due sole coniche (effettive) passanti per i punti ab e toccanti le rette LM ed una terza retta N.