Pagina:Pastore - Sul fondamento logico della matematica, 1935.djvu/9

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funzione f(x0), l’altro della variabile x0 e se, in secondo luogo questo rapporto è finito, a questo rapporto si dà il nome di derivata. In questa definizione, che è il fondamento di tutta l’analisi, la condizione che il limite del rapporto incrementale è finito è puramente matematica; la condizione dell’esistenza è matematica e logica insieme: il rapporto esiste matematicamente come quantità variabile da punto a punto; logicamente è un invariante nella variazione dei suoi valori1.

Questo invariante logico ci mostra l’intervento della parte logica nella formazione della derivata, perchè l’incremento della variabile corrisponde alla variazione dell’ente, l’incremento della funzione alla variazione della relazione che lega gli enti. Questo significa che l’invarianza del rapporto incrementale nel passaggio al limite esprime l’invarianza del rapporto logico delle due forme fondamentali del pensare, una corrispondente al discorso (ente), l’altra all’universo (relazione), cioè al rapporto logico D. U.


§ 6. - Esempio della coessenzialità


delle operazioni D. U. tratto dalla geometria.



Un esempio della coessenzialità delle operazioni D. U. ci è dato dalla geometria.

Com’è ben noto, i postulati della retta, prescindendo dal postulato di Archimede, sono sufficienti a descrivere un campo geometrico. Esistono cioè, secondo la LdP un discorso o sistema ed una forma (universo) di geometria, uno suscettibile di sviluppo o descrizione analitica, l’altra di intuizione sintetica, pei quali l’insieme dei postulati, a prescindere da quello di Archimede, è fondamento necessario. Diciamo che un campo geometrico è perfettamente determinato dai postulati della retta, con esclusione di quello di Archimede. (Geometria non archimedea, Veronese, 1891).

Ma del pari com’è ben noto un campo geometrico, differente dal primo, è pure determinato dall’insieme dei postulati della retta compreso quello di Archimede: si hanno cioè un sistema ed una forma per i quali detto insieme di postulati è fondamento di costruzione necessario c sufficiente.

I due sistemi sono analiticamente differenti, ed in corrispondenza si hanno pure due intuizioni differenti.

  1. Questo concetto dell’invariante logico, ben diverso dall’invariante matematico, è largamente chiarito in uno studio in corso di stampa