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8.1 - La distribuzione uniforme

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Figura 8a — Le aree elementari sulla superficie di una sfera di raggio R (in coordinate polari).

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Con riferimento alla figura 8a, pensiamo introdotto un sistema di coordinate polari $\left\{R,\theta ,\varphi \right\}$: l’elemento infinitesimo di area, dS, sulla sfera di raggio R, che corrisponde a valori della colatitudine compresi tra $\theta$ e $\theta +\mathrm {d} \theta$, e dell’azimuth compresi tra $\varphi$ e $\varphi +\mathrm {d} \varphi$, è uno pseudorettangolo di lati $R\,\mathrm {d} \varphi$ ed $R\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi$; quindi, a meno del segno,

$|\mathrm {d} S|=R^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =-R^{2}\,\mathrm {d} (\cos \theta )\mathrm {d} \varphi$

mentre l’angolo solido corrispondente vale

$\mathrm {d} \Omega ={\frac {|\mathrm {d} S|}{R^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =-\mathrm {d} (\cos \theta )\,\mathrm {d} \varphi$.

L’asserita uniformità nell’emissione dei prodotti di decadimento si traduce nella condizione che la probabilità, per essi, di essere contenuti in un qualsiasi angolo solido, sia proporzionale all’ampiezza di quest’ultimo:

$\mathrm {d} P=K\mathrm {d} \Omega =K'\,\mathrm {d} (\cos \theta )\,\mathrm {d} \varphi$

(ove $K$ e $K'$ sono due opportune costanti); ovverosia richiede che le due variabili casuali

$u=\cos \theta$

e

$v=\varphi$

abbiano distribuzione uniforme, e siano inoltre statisticamente indipendenti tra loro (questo in conseguenza dell’equazione (7.8)).