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8.5 - La distribuzione di Poisson

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matica di x:

$E(x)$	$=\sum _{x=0}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\sum _{x=1}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }\sum _{x=1}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }\sum _{y=0}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }e^{\alpha }$
	$=\alpha$.

Nei passaggi si è prima osservato che il primo termine della sommatoria ($x=0$) è nullo, e si è poi introdotta la nuova variabile $y=x-1$. Troviamo ora la speranza matematica di $x^{2}$: con passaggi analoghi, si ottiene

$E(x^{2})$	$=\sum _{x=0}^{+\infty }x^{2}{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \sum _{x=1}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \sum _{x=1}^{+\infty }{\bigl [}(x-1)+1{\bigr ]}\,{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \left[\,\sum _{y=0}^{+\infty }y\,{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}\,e^{-\alpha }\;+\;\sum _{y=0}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}\,e^{-\alpha }\right]$
	$=\alpha \left[\,\sum _{y=0}^{+\infty }y\,P(y)\;+\;\sum _{y=0}^{+\infty }P(y)\right]$
	$=\alpha \,(\alpha +1)$

e la varianza di x risulta allora anch’essa data da

${\text{Var}}(x)=E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}-{\bigl [}E(x){\bigr ]}^{2}\;=\;\alpha \,(\alpha +1)-\alpha ^{2}\;=\;\alpha$.