Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta. |
8.5 - La distribuzione di Poisson | 121 |
La funzione generatrice dei momenti, come si potrebbe facilmente ottenere dalla definizione, è la
; | (8.16) |
la funzione caratteristica di variabile reale
,
e la funzione caratteristica di variabile complessa
. | (8.17) |
Da esse potrebbero essere ricavati tutti i momenti successivi; i primi quattro valgono
Un’altra conseguenza della (8.16) è che la somma di due variabili casuali indipendenti che seguano la distribuzione di Poisson (con valori medi ed ) segue anch’essa tale distribuzione (con valore medio pari a ):
. | (8.18) |
Anche la distribuzione di Poisson, come si vede dai grafici di figura 8f, è bene approssimata da una distribuzione normale quando è abbastanza elevato; questo non deve stupire, visto lo stretto legame che esiste tra la distribuzione di Poisson e quella di Bernoulli — il cui limite per grandi N è appunto la funzione di Gauss. Volendo, si potrebbe ripetere per la funzione generatrice (8.16) una analisi analoga a quella a suo tempo compiuta per la distribuzione binomiale; in questo modo si proverebbe rigorosamente il fatto che anche la distribuzione di Poisson, per grandi , tende a quella normale.
In genere si ritiene che, per valori medi , si possa ritenere soddisfacente l’approssimazione normale alla distribuzione di Poisson.