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12.2 - Verifiche basate sulla distribuzione del χ2

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$\xi$ che lascia alla propria sinistra, sotto la curva della distribuzione del $\chi ^{2}$ ad $M-1$ gradi di libertà, un’area pari a tale valore.

• Calcolare $X$; ed infine rigettare l’ipotesi (al livello di confidenza prescelto) perché incompatibile con i dati raccolti, se $X$ risultasse superiore a $\xi$ (o, altrimenti, considerare l’ipotesi compatibile con i dati al livello di confidenza prescelto e quindi accettarla).

Quanto detto a proposito della particolare distribuzione del $\chi ^{2}$ da usare per il la verifica della nostra ipotesi, però, è valido solo se le caratteristiche della distribuzione teorica con cui confrontare i nostri dati sono note a priori; se, invece, $R$ parametri da cui essa dipende fossero stati stimati a partire dai dati, il numero di gradi di libertà sarebbe inferiore e pari ad $M-R-1$.

Così se le $p_{i}$ sono state ricavate integrando sulle classi di frequenza una distribuzione normale la cui media e la cui varianza siano state a loro volta ottenute dal campione istogrammato, il numero di gradi di libertà, essendo $R=2,$ sarebbe pari a $M-3$.

Per dare un’idea dei valori del $\chi ^{2}$ che corrispondono al rigetto di una ipotesi (ad un certo livello di confidenza), e senza ricorrere alle tabelle numeriche, nella figura 12b sono riportati in grafico i valori $P$ dell’integrale da $x$ a $+\infty$ della funzione di frequenza del $\chi ^{2}$ (ovvero il complemento ad uno della funzione di distribuzione), per alcuni valori del parametro $N$.

Le curve della figura 12c permettono invece di identificare (per differenti scelte del livello di confidenza $\varepsilon$) i corrispondenti valori di taglio del $\chi ^{2}$ ridotto — ovvero del rapporto $\chi ^{2}/N$ tra esso ed il numero di gradi di libertà $N$. Insomma, ogni punto di queste curve al di sopra di un’ascissa (intera) $N$ ha come ordinata un numero $X/N$ tale che l’integrale da $X$ a $+\infty$ della funzione di frequenza del $\chi ^{2}$ ad $N$ gradi di libertà sia uguale ad $\varepsilon$.

12.2.2 Il metodo del minimo $\chi ^{2}$

Supponiamo di sapere a priori che i nostri dati istogrammati debbano seguire una data distribuzione, ma che essa dipenda da $R$ parametri incogniti che dobbiamo stimare a partire dai dati stessi; visto che l’accordo tra i dati e la distribuzione è dato dalla $X$ definita nella (12.9), ed è tanto migliore quanto più il valore ottenuto per essa è basso, un metodo plausibile di stima potrebbe essere quello di trovare per quali valori dei parametri stessi la $X$ è minima (metodo del minimo $\chi ^{2}$).

Indicando con $\alpha _{k}$ ($k=1,\ldots ,R$) i parametri da stimare, ognuna delle $p_{i}$ sarà esprimibile in funzione delle $\alpha _{k}$; ed imponendo che le derivate prime della $X$ rispetto ad ognuna delle $\alpha _{k}$ siano tutte nulle contemporaneamente,