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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

otteniamo

${\frac {\partial X}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;\sum _{i=1}^{M}{\frac {-2\left(n_{i}-Np_{i}\right)N^{2}p_{i}-N\left(n_{i}-Np_{i}\right)^{2}}{N^{2}{p_{i}}^{2}}}\,{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;0,$

ossia

$-{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial X}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;\sum _{i=1}^{M}\left[{\frac {n_{i}-Np_{i}}{p_{i}}}+{\frac {\left(n_{i}-Np_{i}\right)^{2}}{2N{p_{i}}^{2}}}\right]{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;0.$

(12.10)

L’insieme delle (12.10) costituisce un sistema di $R$ equazioni, nelle $R$ incognite $\alpha _{k}$, che ci permetterà di stimarne i valori (salvo poi, nel caso il sistema delle (12.10) abbia più di una soluzione, controllare quali di esse corrispondono in effetti ad un minimo e quale tra queste ultime corrisponde al minimo assoluto); le condizioni sotto le quali il metodo è applicabile sono quelle già enunciate in precedenza¹, ossia ${p_{i}}^{2}\ll p_{i}$ e $n_{i}\gtrsim 5$.

In genere però si preferisce servirsi, in luogo delle equazioni (12.10), di una forma semplificata, ottenuta trascurando il secondo termine nella parentesi quadra: che, si può dimostrare, è molto inferiore al primo per grandi $N$ (infatti il rapporto tra i due termini vale

${\frac {\left(n_{i}-Np_{i}\right)^{2}}{2N{p_{i}}^{2}}}\,{\frac {p_{i}}{n_{i}-Np_{i}}}\;=\;{\frac {n_{i}-Np_{i}}{2Np_{i}}}\;=\;{\frac {1}{2p_{i}}}\left({\frac {n_{i}}{N}}-p_{i}\right)$

e converge ovviamente a zero all’aumentare di $N$); e risolvere, insomma, il sistema delle

$\sum _{i=1}^{M}\left({\frac {n_{i}-Np_{i}}{p_{i}}}\right){\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}=0$

(12.11)

(metodo semplificato del minimo $\chi ^{2}$).

Si può dimostrare che le soluzioni ${\bar {\alpha }}_{k}$ del sistema delle (12.11) tendono stocasticamente ai valori veri $\alpha _{k}^{*}$ (in assenza di errori sistematici) al crescere di $N$; inoltre il valore di $X$ calcolato in corrispondenza dei valori ricavati ${\bar {\alpha }}_{k}$ dà, se rapportato alla distribuzione del $\chi ^{2}$ con $M-R-1$ gradi di libertà, una misura della bontà della soluzione stessa.

Ora, le equazioni (12.11) si possono scrivere anche

$\sum _{i=1}^{M}\left({\frac {n_{i}-Np_{i}}{p_{i}}}\right){\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}=\sum _{i=1}^{M}{\frac {n_{i}}{p_{i}}}\,{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}-N\sum _{i=1}^{M}{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}$

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1. Se la prima di esse non si può ritenere accettabile, delle equazioni ancora valide ma più complesse si possono ottenere dalla (12.9) sostituendo $Np_{i}(1-p_{i})$ al posto di $Np_{i}$ nel denominatore.