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13.2 - Il lemma di Neyman-Pearson

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con $\alpha$ costante prefissata (nella (13.5) abbiamo sinteticamente indicato con $\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$ il prodotto $\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N}$). Vogliamo trovare quale di queste regioni rende massima

$\beta \;=\;1-P_{II}\;=\;\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$.

Ora, per una qualsiasi regione ${\mathcal {R}}\neq {\mathcal {R}}_{k}$, valgono sia la

${\mathcal {R}}_{k}\;=\;({\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}})\cup ({\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}\,)$

che la

${\mathcal {R}}\;=\;({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k})\cup ({\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k})$;

e quindi, per una qualsiasi funzione $\phi ({\boldsymbol {x}})$, risulta sia

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}\!\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$

che

$\int _{\mathcal {R}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\int _{{\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$

e, sottraendo membro a membro,

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$

(13.6)

Applicando la (13.6) alla funzione ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})$ otteniamo:

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=$
$=\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$;	(13.7)

ma, nel primo integrale del secondo membro, essendo la regione di integrazione contenuta in ${\mathcal {R}}_{k}$, deve valere la (13.4); e quindi risultare ovunque

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$

mentre, per lo stesso motivo, nel secondo integrale

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;\leq \;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$