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13.4 - Il rapporto delle massime verosimiglianze

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che, dicendoci quale è (almeno nel limite di grandi campioni) la forma di $g(\lambda |H_{0})$, ci mette comunque in grado di calcolare la significanza del test.

Illustriamo il metodo con un esempio: disponendo ancora di un campione di $N$ determinazioni indipendenti, provenienti da una popolazione normale di varianza nota, vogliamo applicarlo per discriminare tra l’ipotesi nulla che il valore medio abbia valore 0 ($H_{0}\equiv \{\mu =0\}$) e quella che esso abbia valore differente ($H_{a}\equiv \{\mu \neq 0\}$).

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è ancora dato dalla (13.1); e già sappiamo, dal paragrafo 11.3, che ${\mathcal {L}}$ assume il suo massimo valore quando $\mu ={\bar {x}}$, per cui

$\ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})=-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-N{\bar {x}}^{2}\right)$.

Inoltre $\Omega _{0}$ si riduce ad un unico punto, $\mu =0$; per cui

$\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})=-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}$.

Dalla (13.9) si ricava

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})-\ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\,N{\bar {x}}^{2}$

e la regione di rigetto è definita dalla $\ln \lambda <\ln k$; ovvero (ricordando che $\ln k<0$) da

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;{\bar {x}}^{2}>-{\frac {2\sigma ^{2}\ln k}{N}}\;\right\}$

e, posto

$c=\sigma {\sqrt {-{\frac {2\ln k}{N}}}}$

si accetterà $H_{0}$ se $|{\bar {x}}|\leq c$ (e la si rigetterà se $|{\bar {x}}|>c$).

In questo caso il teorema precedentemente citato afferma che

$-2\ln \lambda ={\frac {{\bar {x}}^{2}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{N}}}$

è distribuito asintoticamente come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà (cosa che del resto già sapevamo, vista l’espressione di $-2\ln \lambda$); per cui, indicando