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| 268 | Appendice C - Covarianza e correlazione |
e, introducendo nell’equazione precedente sia l’espressione (C.10) per che la
![{\displaystyle \sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}=N\,\left[{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c33f8853b9f3814f8aa0bbdcb1c538fc0835ac)
e la
otteniamo
![{\displaystyle ={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta }}\,\left[\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}-2{\widehat {x}}\sum \nolimits _{i}x_{i}+N{\widehat {x}}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54e05816ef4bcde839bea6536a1306064f88e97)
![{\displaystyle ={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{N\,{\text{Var}}(x)}}\,\left[{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}-2{\widehat {x}}{\bar {x}}+{\widehat {x}}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeaae98e24116da5449c86a11d5799d4559a9480)
ed infine la
| . | (C.12) |
![{\displaystyle {\text{Var}}({\widehat {y}})={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{N}}\,\left[1+{\frac {\left({\widehat {x}}-{\bar {x}}\right)^{2}}{{\text{Var}}(x)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd6dd5aeef93663760bdb5d2f7c0e7c7fd2ba49)
Si vede immediatamente dalla (C.12) che l’errore sul valore stimato (che è funzione di ) è minimo quando : quindi, per ricavare una stima della con il più piccolo errore casuale possibile, bisogna che il corrispondente valore della sia nel centro dell’intervallo in cui si sono effettuate le misure (questo in accordo con le considerazioni qualitative precedenti a riguardo di interpolazione ed estrapolazione).
C.4.5 Verifica di ipotesi nell’interpolazione lineare
Nel paragrafo 11.4.1 abbiamo ricavato le formule (11.10) dei minimi quadrati e le formule (11.11) per l’errore dei coefficienti della retta interpolata: queste ultime richiedono la conoscenza dell’errore comune sulle ordinate che, di consueto, viene ricavato a posteriori dai dati attraverso l’equazione (C.8).
Assai di frequente è necessario verificare delle ipotesi statistiche sui risultati dell’interpolazione lineare; una volta ricavata, ad esempio, la pendenza della retta interpolante, si può o voler confrontare la stima ottenuta con un valore noto a priori, o voler costruire attorno ad essa un intervallo corrispondente ad un certo livello di confidenza; o, ancora, si può voler effettuare il confronto (o calcolare l’ampiezza dell’intervallo di confidenza) per un valore della stimato sulla base dell’interpolazione, e la cui varianza è data dalla (C.12).
