Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/299

---

Appendice E

La funzione di verosimiglianza

---

Si supponga di aver compiuto $N$ osservazioni indipendenti relative ad una grandezza fisica $x$, e di aver trovato i valori $x_{i}$, con $i=1,2,\ldots ,N$. Ciascuna delle variabili casuali $x_{i}$ abbia poi densità di probabilità data da una funzione nota $f_{i}(x_{i};\theta )$; funzione che supponiamo dipenda da un parametro $\theta$ di valore vero $\theta ^{*}$ ignoto, e definita in un intervallo dell’asse reale delle $x_{i}$ con estremi indipendenti da $\theta$ (che potremo assumere essere $\pm \infty$ ponendo eventualmente $f_{i}(x_{i};\theta )\equiv 0$ esternamente all’intervallo di definizione).

Una stima di una generica funzione nota del parametro, $\tau (\theta )$, che supporremo con derivata non nulla, è una funzione dei soli valori osservati $t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$; dunque a sua volta una variabile casuale, con associata una funzione densità di probabilità che indicheremo con $g(t;\theta )$. La stima si dice imparziale (o indistorta) quando il suo valore medio

$E(t)$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\,t\,g(t;\theta )\,\mathrm {d} t$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{1}\,f_{1}(x_{1};\theta )\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{N}\,f_{N}(x_{N};\theta )\,t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$

è uguale al rispettivo valore vero:

$E(t)=\tau (\theta )$.

Il caso particolare della stima del parametro stesso corrisponde alla funzione $\tau (\theta )=\theta$, che soddisfa evidentemente alla richiesta di possedere derivata prima non nulla $\tau '(\theta )=1$.

283