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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

Indicando con $x^{*}$ il valore vero di $x$, e con ${\bar {x}}_{j}$ la media aritmetica del campione $j$-esimo, vale la

$\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}$	$=$	${\Bigl [}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right){\Bigr ]}^{2}$
	$=$	$\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}+2\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)$.

Ora sommiamo su $i$ tutte le $N$ uguaglianze che si hanno per i valori dellʼindice $i=1,2,\ldots ,N$ e dividiamo per $N$; se indichiamo con ${s_{j}}^{2}$ la varianza del campione $j$-esimo, data da

${s_{j}}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)^{2}$

otteniamo alla fine

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={s_{j}}^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}+{\frac {2}{N}}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)$.

Lʼultima sommatoria a destra è la somma algebrica degli scarti delle misure del campione $j$-esimo dalla loro media aritmetica ${\bar {x}}_{j}$ che sappiamo essere identicamente nulla. Dunque, per ogni $j$ vale la

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={s_{j}}^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$

e se sommiamo membro a membro tutte le $M$ uguaglianze che abbiamo per $j=1,2,\ldots ,M$ e dividiamo per $M$, risulta

${\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{s_{j}}^{2}+{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$.

Ora supponiamo di avere a disposizione moltissimi campioni e passiamo al limite per $M\rightarrow \infty$. Il primo membro (che rappresenta il valore medio, su tutti i dati e tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti dal valore vero) converge stocasticamente alla varianza della variabile casuale $x$; il secondo termine a destra (valore medio, su tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti della media aritmetica del campione dal proprio valore vero) converge alla varianza delle medie dei campioni di $N$ misure ${\sigma _{\bar {x}}}^{2}$.