Pagina:Veronese - La geometria non archimedea.djvu/1

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G. VERONESE


LA GEOMETRIA NON-ARCHIMEDEA


L’argomento da me scelto è quello stesso che ero stato invitato a trattare nel Congresso di Heidelberg, parendomi che anche oggi possa interessarVi, specialmente dopo che matematici, come il Poincaré, ne riconobbero l’importanza. La critica ne ha già riconosciuta la validità logica, onde piuttosto che un’esposizione sistematica, come avrei fatto ad Heidelberg, credo utile di mettere ora in rilievo alcune questioni di contenuto e di metodo, che si riattaccano coll’essenza dei principî della matematica pura e della geometria, e sulle quali non parmi siano ancora concordi i geometri, pur trattandosi di argomenti geometrici1.


Che cosa è la Geometria non-Archimedea? È essa valida quale sistema di verità astratta? E soddisfa essa pure alle condizioni quali deve essere assoggettata ogni sistema geometrico?

Sarebbe inutile ricordare qui le discussioni secolari intorno all’infinito e all’infinitesimo attuale; nella storia troviamo matematici favorevoli e contrari, da un lato ad es. G. Bernoulli, dall’altro Gauss, indeciso tra l’uno e l’altro Leibnitz, altri invece, come G. Cantor favorevoli all’infinito attuale e contrari all’infinitesimo attuale, considerato quale segmento rettilineo continuo.

Queste discussioni si erano, si può dire, assopite, quando l’analisi, mercè il concetto di limite, si adagiò su basi sicure nel campo della grandezza finita ed era prevalsa la tendenza contraria all’infinito ed infinitesimo attuale, provocata anche dal tentativo fallito di una geometria dell’infinito di Fontenelle2.

Ma nonostante che Gauss protestasse contro l’uso nella matematica della grandezza infinita determinata, qua e là risorgevano le antiche dispute.

  1. Non essendo stata tenuta la conferenza al Congresso, perchè l’A. si è ammalato appena giunto a Roma, è mancato uno dei suoi scopi, quello cioè di promuovere una discussione in seno al Congresso medesimo intorno a questi argomenti.
  2. Él. de Géom. de l’infini (Paris, 1727). Vedi A., Fondamenti di Geom., 1891, pag. 620, trad. tedesca di A. Schepp, 1894, pag. 697. Nulla hanno a che fare colla geometria non archimedea gli infiniti del Fontenelle, contrariamente a quanto affermò il sig. Cantor (Math. Ann., 46).