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Giovanni Giuseppe Nicosia ― Cinesi, scuola e matematica ― Bologna, Italia ― 2010

un sistema di equazioni polinomiali (da una equazione sino a 14) e poi a metodi per ridurre questo ad un’unica equazione in un’incognita. Tutti i problemi sono corredati di equazione finale e soluzione, il che fa pensare che anche questo testo fosse destinato ad un uso didattico più che alla divulgazione di conoscenze tra ricercatori. In questo libro si fa largo uso del Metodo di Ruffini per la fattorizzazione di polinomi e si risolvono equazioni quadratiche e cubiche, trovando anche radici quadrate e cubiche. Compare una classificazione di esse che sfrutta il triangolo di Yáng Huī – Tartaglia – Pascal e c’è la risoluzione di sistemi di equazioni lineari con la diagonalizzazione della matrice dei coefficienti. In seguito la matematica perse la grande attrattiva che aveva esercitato sugli intellettuali cinesi, che si volsero alla calligrafia, alla botanica ed alla farmacologia.

Scheda

Problemi dal Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn) di Zhū Shìjié (朱世杰)

I) Un triangolo rettangolo ha area pari a 30 passi (步 bù, qui nel senso di “passi quadrati”). La somma della base e dell’altezza (cioè rispettivamente del cateto maggiore e del minore) è di 17 passi. Quanto vale la somma della base e dell’ipotenusa?

Soluzione: detto x il cateto maggiore o base, y il minore o altezza e z l’ipotenusa sappiamo che:

$\textstyle (\alpha )\qquad {\begin{cases}\textstyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\\\textstyle {\frac {xy}{2}}=30\\\textstyle x+y=17\end{cases}}$ da cui, eliminando la y come suggerito nella terza equazione $\textstyle (y=17-x)$, la seconda diviene: $\textstyle {\frac {x(17-x)}{2}}=30\Leftrightarrow 17x-x^{2}=60\Leftrightarrow -x^{2}+17x-60=0\Leftrightarrow x^{2}-17x+60=0\qquad (\beta )$.

Quest’ultima è un’equazione di secondo grado con discriminante $\textstyle \Delta =(-17)^{2}-4\cdot 1\cdot 60=47>0$ e che ammette quindi due radici: $\textstyle x_{12}={\frac {-(-17)\pm {\sqrt {49}}}{2\cdot 1}}={\frac {17\pm 7}{2}}=\langle {\begin{matrix}\textstyle 5=x_{1}\\\textstyle 12=x_{2}\end{matrix}}$. Quindi $\textstyle y_{1}=12$ e $\textstyle y_{2}=5$. Si è però detto che x è il cateto maggiore quindi consideriamo solo la soluzione tale che $\textstyle x>y$ cioè: $\textstyle x=12$ e $\textstyle y=5$ . Da qui ricaviamo: $\textstyle z={\sqrt {12^{2}+5^{2}}}={\sqrt {169}}=13$. La somma che cerchiamo è dunque: $\textstyle w=z+x$.

Zhū però mostra qualcosa di più introducendo una variabile che noi indicheremmo con $\textstyle w=z+x$ e che rappresenta la somma richiesta dal quesito; quest’ultima equazione può essere aggiunta al sistema di partenza (α). In tal modo: $\textstyle z=x-w$. Considerando la terza equazione del sistema $\textstyle (\alpha )\ (y=17-x)$ la prima diviene: $\textstyle x^{2}+(17-x)^{2}=(x-w)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+289-34x+x^{2}=x^{2}-2xw+w^{2}\Leftrightarrow$
$\textstyle \Leftrightarrow x^{2}-34x+289+2xw-w^{2}=0$.

Sappiamo però che vale l’equazione (β): $\textstyle x^{2}-17x+60=0$ da cui si ha: $\textstyle x^{2}=17x-60$. Sostituendo così il termine quadratico della x nell’equazione (γ) essa diviene: $\textstyle 17x-60-34x+289+2xw-x^{2}=0\Leftrightarrow$
$\textstyle \Leftrightarrow 229-17x+2xw-w^{2}=0$. Si raccoglie ora la x e la si ricava in funzione della w: $\textstyle x(-17+2w)=w^{2}-229\Leftrightarrow x={\frac {w^{2}-229}{2w-17}}\qquad (\delta )$.

Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010