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CAPITOLO VIII — § 53

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β) Vediamo che cosa rappresenta geometricamente il differenziale. Sia data una curva di equazione

$y=f(x)$.

Siano $NM,QS$ le ordinate dei punti $M$ e $S$ della curva che corrispondono ai valori $x$ ed $x+h$ della variabile (fig. 20).

Fig. 20.

Sia $P$ il punto di incontro della $SQ$ con la parallela per $M$ dell'asse delle $x$; sia poi $R$ il punto di incontro della $SQ$ con la tangente alla curva nel punto $M$, ed $\omega$ sia l'angolo formato da questa tangente con la $MP$, ossia con l'asse delle $x$. L'incremento $h$ che riceve la variabile indipendente $x$ sarà

Abbiamo visto che la derivata $f'(x)$ della funzione $f(x)$ è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva, ossia che

$f'(x)={\text{tang}}\omega$;

ma il differenziale è

$df=f'(x)\Delta x$;

quindi

$df=\Delta x{\text{tang}}\omega$.

Ora $\Delta x$ misura il cateto $MP$ del triangolo rettangolo $MPR$, quindi $df=\Delta x{\text{tang}}\omega =PR$. Dunque il differenziale è rappresentato dal segmento PR compreso tra la parallela condotta per il punto M dell'asse delle x e la tangente alla curva nel punto M.

L'incremento $\Delta f$ che riceve la funzione quando alla variabile $x$ si dà l'incremento $h$, sarà dato dalla differenza tra il valore della funzione nel punto $x+h$, valore che nella figura è rappresentato dal segmento $QS$ e il valore della funzione nel punto $x$ (valore che nella figura è rappresentato dal segmento $NM$); dunque

$\Delta f=QS-NM=QS-QP=PS$;

cioè l'incremento $\Delta f$ che riceve la funzione f(x), quando si dà alla variabile x l'incremento Δx, è rappresentato dal segmento PS compreso tra la parallela all'asse delle x xondotta per il punto M di ascissa x e la curva y=f(x)

Se $f(x)=x$, la derivata di $x$ è 1; e quindi

$df=dx=1.\Delta x=\Delta x$,

cioè il differenziale di x è uguale all'incremento di x.