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TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE, ECC.

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Indi si formino i quozienti:

$X(z)={\frac {\psi (z)}{\psi _{1}(z)}}=(z-a)(z-b)$;

$X_{2}(z)={\frac {\psi _{2}(z)}{\psi _{3}(x)}}=z-e$;

$x_{(}z)={\frac {\psi _{1}(z)}{\psi _{2}(z)}}=(z-c)(z-d)$;

$X_{3}(z)={\frac {\psi _{3}(z)}{1}}=z-f$.

Uguagliando a zero questi quattro quozienti si hanno quattro equazioni: la prima ha per radici semplici della proposta $f(z)=0$, la seconda ha per radici le radici doppie, la terza ha per radici le triple e la quarta ha per radici le radici quadruple di $f(z)$, ma tutte come radici semplici.

Il metodo qui applicato vale in generale; e, generalmente, si ottiene il risultato seguente.

Sia data un'equazione intera ad un'incognita:

$f(z)=a_{1}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+.....+a_{n-1}z+a_{n}=0$.

Della $f(x)$ e della sua prima derivata $f'(x)$ si calcoli il massimo comune divisore; indi di questo e della sua prima derivata si calcoli M. C. D. e così si prosegua fino ad ottenere una costante. Ciò fatto si divida $f(z)$ per il primo massimo comune divisore e così via fino a dividere il penultimo M. C. D. trovato per l'ultimo. Finalmente si divida il primo quoziente per il secondo, il secondo per il terzo e così via fino a dividere l'ultimo per l'unità. I quozienti ottenuti uguagliati a zero avranno per radici le radici semplici, doppie, ecc. dell'equazione data, tutte come radici semplici.

Esempio.

Consideriamo l'equazione:

$f(x)=z^{6}-z^{5}-7z^{4}+9z^{3}+10z^{2}-20^{z}+8=0$.

Cercando il massimo comune divisore tra $f(z)$ ed $f'(z)=6z^{5}-5z^{4}-28z^{3}+27z^{2}+20z-20$, si trova:

$\varphi (z)=z^{3}-3z+2$.

Ora $\varphi '(z)=3z^{2}-2$, il M. C. D. tra $\varphi '(z)\,{\text{e}}\,\varphi (z)$ è:

$\varphi _{1}(z)=z-1$.

e il M. C. D. tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:

$\varphi _{2}(z)=1$.

Ora, dividendo ciascuna delle funzioni $f(z),\varphi (z),\varphi _{1}(z)$ per la seguente, si hanno le funzioni:

$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=z^{3}-z^{2}-4z+a$;

$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=z^{2}+z-2$;

$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(z)}}=z-1$.

Infine eseguendo le divisioni $\psi (z):\psi _{1}(z)$; $\psi _{1}(z):\psi _{2}(z)$; $\psi _{2}(z):1$ si ottengono rispettivamente i quozienti:

$z-2$,     $z+2$,     $z-1$,

i quali, posti uguali a zero, danno le equazioni:

$z-2=0$,     $z+2=0$,     $z-1=0$,

che hanno per radici rispettivamente le radici semplici, doppie, triple della proposta (ma tutte come semplici). Dunque l'equazione proposta ha una radice semplice $2$, una radice doppia $-2$, una radice tripla $1$.

Osservazione. — L'equazione $f(z)=0$ avrà radici tutte semplici, soltanto se il primo massimo comune divisore (quello tra $f(z)$ e $f'(z)$ è una costante; questa osservazione dà, come già dicemmo, il più semplice modo per riconoscere se una equazione ha radici multiple, senza ricorrere al discriminante.