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capitolo ix — § 64-65 — teoremi fondamentali, ecc.

Esercizi.

1° Riconoscere coi metodi precedenti se e quando avviene che una delle seguenti equazioni ha una radice doppia, o tripla, o ecc.

                                                  $x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$

                                                  $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

                                                  ${\text{cos}}\,x-p=0$

                                                  $e^{x}-p=0$

                                                  $\log \,x-p=0$

dove le $a_{i},\,p,\,q,\,r$ sono costanti.

2° Risolvere le seguenti equazioni, tutte dotate di radici multiple.

$x^{7}+3x^{6}+5x^{5}+7x^{4}+7x^{3}+5x^{2}+3x+1=0$

(radici $\pm \,i$ doppie e $-1$ tripla);

$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4=0$

(radici $2$ e $-1$ doppie).

§ 65. — Derivazione per serie.

Teor. Se la serie

(1)                                        $u_{1}(x)+u_{2}(x)+.\,.\,.\,.\,.$

è convergente nell'intervallo $\mathrm {a\leq x\leq b}$, se esiste la derivata di ogni suo termine, se la serie delle derivate

(2)                              $u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'_{3}(x)+.\,.\,.\,.\,.$

è totalmente convergente in (a, b), allora (2) rappresenta proprio la derivata di (1). Cioè la derivata di (1) si può ottenere derivando termine a termine.

Sia $L_{n}$ il limite superiore dei valori $|u_{n}(x)|$. per ipotesi la serie $L_{1}+L_{2}+L_{3}+.....$ è convergente. Consideriamo i valori assoluti dei rapporti incrementali

(3)                                        $\left|{\frac {u_{n}(x+h)-u_{n}(x)}{h}}\right|$,

quando $x$ ed $x+h$ variano nell'intervallo ($a,b$). Per il teorema della media, la quantità (3) vale $|u'_{n}(x+\theta \,h|\leq L_{n}$. Quindi (3) non può superare $L_{n}$. E quindi la serie

(4)     ${\frac {u_{1}(x+h)-u_{1}(x)}{h}}+{\frac {u_{2}(x+h)-u_{2}(x)}{h}}+$

$+{\frac {u_{3}(x+h)-u_{3}(x)}{h}}+.\,.\,.\,.\,.$

è totalmente convergente. Il suo limite per $h=0$ è dunque uguale alla serie ottenuta passando al limite termine a termine. Perciò i limite di (4) per $h=0$ vale

(2)                    $u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'3+.\,.\,.\,.\,.$

Ora, se $u(x)$ è la somma di (1), la (4) vale ${\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}$. Dunque la serie (2) è il $\lim _{h=0}\,{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}$ cioè vale $u'(x)$.