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prima estensione del calcolo integrale, ecc.

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Si può verificare facilmente il nostro risultato derivando la $z-\varphi (y)+f(x)$ prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$. Si avrebbe:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=f'(x)$;

e derivando quindi la $f'(x)$ rispetto a $y$ si ottiene lo zero.

Facciamo un cambiamento di variabili: poniamo cioè

                                        $u=x+y$,               $v=x-y$;

da cui

                                        $x={\frac {u+v}{2}}$      ,      $y={\frac {u-v}{2}}$.

La $z$ funzione di $x$ e $y$ può dunque considerarsi come funzione di $u$ e di $v$, e a loro volta funzioni di $x$ e $y$.

Derivando allora la $z$ rispetto alla $x$ tenendo $y$ costante, e applicando il teorema di derivazione di funzione di funzione, si ottiene

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial z}{\partial u}}u'_{z}+{\frac {\partial z}{\partial v}}v'_{x}$;

ossia, essendo $u'_{x}=+1$ o $v'_{x}=+1$,

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial z}{\partial u}}+{\frac {\partial z}{\partial v}}$.

Derivando rispetto alla $y$, si trova

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}u'_{y}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial u\partial v}}v'_{y}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}v'_{y}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial u\partial v}}u'_{y}\right)$.

Poichè $u'_{y}=1,v'_{y}=-1$, si trova

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}$.

Cosicchè la (2), ove si ponga $z={\frac {u+v}{2}},y={\frac {u-v}{2}}$, dà tutte le funzioni che soddisfano alla:

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}=0$:

risultato importante, perchè riceve applicazioni in molte questioni di fisica.

Oss. Scamiando gli assi delle $x$ e delle $y$ si trova che la (1) si può scrivere nella forma

$(x,y)=\int _{a}^{x}\left[\int _{b}^{y}P(x,y)dy\right]dx+f(x)+\varphi (y)$.

E se ne potrebbe dedurre che:

$\int _{a}^{x}\left[\int _{b}^{y}P(x,y)dy\right]dx=\int _{b}^{y}\left[\int _{a}^{x}P(x,Y)dx\right]dy$.

Questa formola sarà ritrovata in forma assai più generale in altro capitolo.

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