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capitolo xv — § 94

CAPITOLO XV.

GLI INTEGRALI DEFINITI
E LE FUNZIONI ADDITIVE DI INTERVALLO

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§ 94. — Funzioni additive d'intervallo e loro derivate.

$\alpha$) Sia $\varphi (x)$ una funzione prefissata della $x$ in un intervallo $I$. Siano $a,b$ due punti di $I$; la differenza (incremento) $\varphi (b)-\varphi (a)$ è un numero determinato, quando siano dati i punti $a,b,$ o, ciò che è lo stesso, l'intervallo $(a,b)$. Prefissata dunque la funzione $\varphi (x)$, noi potremo dire che tale differenza, che indicheremo con $S(a,b)$ è una funzione dell'intervallo $(a,b)$¹. Essa gode di una proprietà molto notevole; cioè che, se l'intervallo $(a,c)$ è somma degli intervalli <ath>(a, b)</math> e $(b,c)$. Noi enuncieremo questa proprietà dicendo che $S(a,b)$ è funzione additiva dell'intervallo $\mathrm {(a,b)}$.

Viceversa sia $S(a,b)$ una funzione dell'intervallo $(a,b)$; sia essa cioè un numero, che ha un valore determinato, appena sia dato l'intervallo $(a,b)$ di $I$.

Essa goda della proprietà additiva: sia cioè identicamente $S(a,b)+S(b,c)=S(a,c)$. Ne seguirà supponendo $c=b$, che $S(b,b)=0$, cioè che una funzione additiva d'intervallo si annulla, se l'intervallo è nullo. E quindi, ponendo poi $c=a$, e osservando che $S(a,a)=0$, ne seguirà:

$S(a,b)=-s(b,a)$.

Sia $C$ una costante arbitraria; e sia $c$ un punto fisso qualsiasi (di $I$), sia$x$ un punto variabile in $I$. Si ponga:

$C+S(c,x)=\varphi (x)$.

1. Diciamo così per analogia col linguaggio abtuale: si dice che $y$ è una funzione di $x$, se $y$ è determinato, appena sia nota la $x$.