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capitolo xv — § 99

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in infiniti rettangoloidi parziali infinitesimi. In ciascuno di essi la $y$ si può considerare come costante; cosicchè il lato opposto all'asse delle $x$ si può considerare come un segmento parallelo all'asse delle $x$. L'area di tale rettangoloide parziale è perciò $\delta _{i}F_{i}$; e il rettangoloide totale ha quindi per area $\Sigma _{i}\delta _{i}F_{i}$                c.d.d.

$\beta$) Ma osserviamo un po' più precisamente le locuzioni sopra esposte. La frase Dividiamo $\mathrm {(a,b)}$ in infiniti intervallini infinitesimi traduce proprio la stessa idea che noi enunciamo dicendo: Dividiamo $(a,b)$ in intervallini $\delta _{i}$, che facciamo tendere a zero ossia che rendiamo infinitesimi (facendono contemporaneamente crescere il numero all'infinito).

Più istruttivo è invece l'esame della seconda parte delle precedenti definizioni e dimostrazioni. Vi si dice: In ciascuno degli intervalli infinitesimi $\mathrm {\delta _{i}}$ la $\mathrm {F(x)}$ si può considerare come costante. Fig. 38.Da un punto di vista empirico questa asserzione si potrebbe giustificare così (fig. 38). Se, p. es., i segmentini $\delta _{i}$ sono i più piccoli segmenti che noi riusciamo a disegnare, e se noi al pezzo $CD$ della curva $y=F(x)$, che si proietta in uno dei tali segmentini $\delta _{i}=C'D'$, sostituiamo il segmento $CP$ paralelo all'asse delle $x$ tirato da $C$, e che è rappresentato da un'equazione

$y={\text{cost.}}$,

seguito, se vogliamo, dal segmentino $PD$, la spezzata così ottenuta coincide quasi con la nostra curva, in quanto che il nostro occhio può forse appena distinguere la curva della spezzata.

Ma d'altra parte, quando si considera in $\delta _{i}$ la $y$ come costante, si costituisce, il rettangolo, che ha per base $\delta _{i}$ e per lato opposto il segmento $CP$, al rettangoloide parziale che ha per base $\delta _{i}$; e si trascura così il triangoletto curvilineo $DPC$. Vediamo come si può prevedere in modo diretto che il trascurare tali triangolini non conduce ad errori. Supponiamo per semplicità che $F(x)$ abbia l'intervallo $(a,b)$ un minimo $m\not =0$. Il triangolino $DPC$ è evidentemente interno al rettangolo, che ha per