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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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base $CP$ e per altezza la differenza $M_{i}-m_{i}$ tra il massimo e il minimo di $F(x)$ in $\delta _{i}$; ed ha quindi un'area $a_{i}$ inferiore a $(M_{i}-m_{i})\delta _{i}$. Il rettangolo che ha per base $\delta _{i}$ e per lato opposto $CP$ ha un'area $A_{i}$ non inferiore a $m\delta _{1}$ Il rapporto ${\frac {a_{i}}{A_{i}}}$ dell'area di uno dei nostri triangolini al corrispondente rettangolo non supera quindi ${\frac {M_{i}-m_{i}}{m}}$.

Ora, scegliendo i $\delta _{i}$ abbastanza piccoli, noi sappiamo (§ 40, pag. 135, e § 63, pag. 197) che si possono rendere tutte le $M_{i}-m_{i}$ e perciò anche tutti questi rapporti minori di un numero $\epsilon$ predissato ad arbitrio. Dunque non solo le $\mathrm {a_{i}}$ sno infinitesimi di ordine superiore rispetto alle $\mathrm {A_{i}}$, ma anzi si possono rendere i rapporti $\mathrm {\frac {a_{i}}{A_{i}}}$ contemporaneamente minori di un numero prefissato ad arbitrio.

È facile dimostrare in tale ipotesi che

$\lim[\Sigma A_{i}-\Sigma (A_{i}+a_{i})]=0$.

Infatti, scelti i $\delta _{i}$ così piccoli che $\left|{\frac {a_{i}}{A_{i}}}\right|<\epsilon$, sarà anche $\left|{\frac {\Sigma a_{i}}{\Sigma A_{i}}}\right|<\epsilon$; $|\Sigma a_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|$; $|\Sigma (A_{i}+a_{i}=-\Sigma A_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|$; e quindi, supposto come nel caso nostro, che le $\mathrm {\Sigma A_{1}}$ siano numeri limitati, inferiori cioè ad una costante finita, $\lim[\Sigma (a_{i}+a_{i})-\Sigma A_{i}]=0$ come dovevasi dimostrare.

È trovato così un nuovo caso (§ 52, pag. 172), in cui è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore.

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