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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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Sottraendo la prima della seconda riga¹ avremo:

${\text{sen}}^{2}\,\theta ={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\Delta \,\lambda &\Delta \,\mu &\Delta \,\nu \end{Vmatrix}}^{2}$,

${\text{sen}}\,\theta ={\begin{vmatrix}1&\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu \\\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu &\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}\end{vmatrix}}$

ossia:

${\text{sen}}^{2}\,\theta =\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}-(\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu )^{2}$

e quindi(poichè $h=\Delta \,s=$ incremento dell'arco):

$\left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\frac {\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}}{\Delta \,s^{2}}}-{\frac {(\lambda \,\Delta ,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu )^{2}}{\Delta \,s^{2}}}$

e

$\lim \,\left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}-(\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ')^{2}={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}$

se Errore del parser (funzione sconosciuta '\lmabda'): {\displaystyle \lmabda, \mu, \nu} posseggono derivate finite (rispetto a $s$).

Ricordando che $\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1$, derivando avremo:

$2\,\lambda \lambda '+2\,\mu \mu '+2\,\nu \nu '=0$,

ossia:

$\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu '=0$.

Quindi sarà:

$\lim \left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}$

$\lim {\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}=\pm {\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}={\sqrt {{\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}}}$.

Questa formola misra, per così dire, la rapidità con cui le rette, che studiamo, cambiano direzione. C'è ambiguità di segno, ma questo è spiegato dal fatto che non si è determinato in segno l'angolo delle due rette.

$\beta$) Un'applicazione tra le più importanti è quella di misurare (se cos' ci è lecito esprimerci) la rapidità con cui una curva sghemba si torce, cioè si allontana dall'essere piana. Se la curva fosse piana, essa avrebbe per piano osculatore sempre lo stesso suo piano, e le binormali sono sempre parallele tra loro.

1. Basta ricordare il valore del quadrato di tale matrice dal al § 22, pag. 76, per riconoscere che questa sottrazione lo lascia invariato.