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capitolo xix — § 126

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Misurare la rapidità con cui una curva si torce è come misurare la rapidità con cui le binormali, anzichè restar parallele tra loro, deviano una dall'altra; rapidità che, secondo le precedenti convenzioni è misurata da ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}$, in cui per $\lambda ,\mu ,\nu$ si pongano i valori dei coseni di direzione della binormale. Questo numero si assume per definizione come valore ella torsione della curva.

Le curve piane hanno la torsione nulla; quanto più piccola è la torsione, tanto più la curva si avvicina ad essere piana.

$\gamma$ La curvatura di una curva in un punto è un numero che, si può dire, serve a misurare quanto rapidamente la curva si allontana dall'essere una retta.

Anche nel linguaggio comune si dice che un arco di cerchio di raggio grande è poco curvo, quello di un cerchio di raggio piccolo è molto curvo.

Per definire la curvatura basta trovare una quantità che sia tanto più piccola quanto più, secondo la nostra intuizione, la cruva si avvicina ad essere una retta.

Prendiamo tutte le tangenti a una curva; se questa è retta, tutte le tangenti coincideranno, e quanto più la curva è curvata, tanto maggiore (a parità di arco fra i punti di contatto) sarà 'angolo che le due tangenti formano tra loro.

Dunque si può misurare la curvatura di una curva come la rapidità di cambiamento di direzione delle tangenti alla curva stessa. Curvatura di una curva sarà perciò per definizione il valore di ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}$, dove $\lambda ,\mu \,\nu$ sieno i coseni direttori della tangente. È evidente che questa è proprio la stessa definizione data per le curve piane, come del resto verificheremo più avanti col calcolo effettivo.

Se $x,y,z$ sono le coordinate in funzione dell'arco dei punti della curva, i coseni di direzione delle tangenti saranno $x',y',z'$, e quindi:

curvatura$={\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}={\sqrt {{\begin{Vmatrix}x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{Vmatrix}}^{2}}}$

Così la curvatura è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle derivate seconde delle $\mathrm {x,y,z}$, prese rispetto all'arco come parametro¹.

1. Si noti che se la curvatura è nulla, allora $x''=y''=z''=0<math>,equidni<math>x,y,z$ sono funzioni lineari della $s$. La linea è perciò una retta. Ciò che concorda con l'idea intuitiva di curvatura, da cui siamo partiti.