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capitolo xxi — § 136

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Questo planimetro può in modo affatto simile servire al calcolo dell'area non solo di rettangoloidi, ma di figure piane qualsiasi, come il lettore può facilmente dimostrare.

B)₂ Planimetri di Amsler.

Un'asta rettilinea $AB$ porti a un estremo $A$ una rotella $R$ posta in un piano normale ad $AB$ e girevole intorno al suo centro $A$. Un punto $C$ della retta $AB$ sia costretto a muoversi su una linea prefissata $L$, mentre il punto $B$ descrive un cammino chiuso $\Gamma$ posto nel piano di $L$, e l'asta ritorna alla posizione iniziale. In tale movimento la rotella $R$ sia appoggiata al foglio $F$ del disegno, e compia un certo numero $N$ di giri. Si vuole, conoscendo $N$, dedurne l'area racchiusa da $\Gamma$.

A seconda della forma di $L$, cambia il nome dato al planimetro: rettilinea, se $L$ è una retta; polare, se $L$ è un cerchio; curvilineo negli altri casi.

Per semplicità occupiamoci del primo caso, supponendo che:

$\alpha$) Il cammino $\Gamma$ non interseca la linea (guida) $L$;

$\beta$) Il punto $C$ sia interno al segmento $AB$.

Supponiamo dapprima che il cammino $\Gamma$ sia composto di segmenti $\delta$ paralleli alla retta $L$ e di arghi $\gamma$ di cerchi col centro su $L$, e con raggio uguale al segmento $CB$. Quando $B$ descrive un $\delta$, la nostra asta non muta di direzione e il segmento $CB$ descrive un parallelogramma $\Delta$; quando $B$ descrive un $\gamma$, la nostra asta gira di un angolo $\varphi$, e il segmento $CB$ descrive un settore di area ${\frac {1}{2}}{\bar {CB}}^{2}\varphi$. Ma, poichè, alla fine del movimento l'asta è tornata alla posizione iniziale, la somma degli angoli $\varphi$ percorsi in un senso è uguale alla somma degli angoli $\varphi$ percorsi nel verso opposto, e i giri eseguiti corrispondentemente dalla $R$ in un verso elidono quelli eseguiti nel verso opposto. E così pure i settori descritti da $CB$, mentre l'asta ruota in un verso, hanno complessivamente un'area uguale a quella dei settori descritti da $CB$, mentre l'asta ruota nel verso opposto.

Ricordando questo, è facile riconoscere che l'area racchiusa da $\Gamma$ vale la differenza tra le aree dei parallelogrammi descritti da $CB$, quando $B$ descrive un segmento $\delta$, muovendosi, p. es., da sinistra a destra, e quelli descritti da $C$, quando $B$ descrive un segmento $\delta$, muovendosi, p. es., da destra a sinistra. Quando $B$ descrive un $\delta$, l'asta $ACB$ si muove parallelamente