Si scriva ciascuno dei due radicandi sotto forma trigonometrica, ponendo:
ρ
2
=
q
2
4
+
r
2
=
−
p
3
27
{\displaystyle \rho ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+r^{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}}
,
cos
θ
=
−
q
2
ρ
{\displaystyle \cos \theta =-{\frac {q}{2\rho }}}
,
sen
θ
=
r
ρ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {r}{\rho }}}
;
si avrà:
y
=
ρ
(
cos
θ
+
i
sen
θ
)
3
+
ρ
(
cos
θ
−
i
sen
θ
)
3
{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}}+{\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta -i\operatorname {sen} \theta )}}}
.
I tre valori della prima radice cubica sono:
ρ
3
{
cos
θ
3
+
i
sen
θ
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}}
,
ρ
3
{
cos
θ
+
2
π
3
+
i
sen
θ
+
2
π
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}}
,
ρ
3
{
cos
θ
+
4
π
3
+
i
sen
θ
+
4
π
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}}
.
I tre valori della seconda radice cubica sono:
ρ
3
{
cos
θ
3
−
i
sen
θ
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}}
,
ρ
3
{
cos
θ
+
2
π
3
−
i
sen
θ
+
2
π
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}}
,
ρ
3
{
cos
θ
+
4
π
3
−
i
sen
θ
+
4
π
3
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}}
.
Si osservi che ogni valore di
y
{\displaystyle y}
si ottiene sommando un valore del primo radicale con un valore del secondo, scelti in guisa che il loro prodotto sia reale. Si avranno dunque le tre radici:
y
1
=
ρ
3
{
(
cos
θ
3
+
i
sen
θ
3
)
+
(
cos
θ
3
−
i
sen
θ
3
)
}
=
2
ρ
3
cos
θ
3
{\displaystyle y_{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)+\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)\right\}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta }{3}}}
y
2
=
2
ρ
3
cos
θ
+
2
π
3
{\displaystyle y_{2}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}}
;
y
3
=
2
ρ
3
cos
θ
+
4
π
3
{\displaystyle y_{3}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}}
,
dove:
ρ
3
=
−
p
3
=
|
p
|
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}={\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}}
(perchè
p
{\displaystyle p}
dev’essere negativo).
Queste formole si possono dedurre per via elementare.
Infatti, posto
z
=
y
2
ρ
3
=
3
2
y
−
p
{\displaystyle z={\frac {y}{2{\sqrt[{3}]{\rho }}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {y}{\sqrt {-p}}}}
, l’equazione diventa:
−
4
2
p
−
p
3
3
z
3
+
2
p
−
p
3
z
+
q
=
0
{\displaystyle -4{\frac {2p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}z^{3}+2p{\frac {\sqrt {-p}}{\sqrt {3}}}z+q=0}
ossia:
4
z
3
−
3
z
−
q
3
3
2
p
−
p
=
0
{\displaystyle 4z^{3}-3z-q{\frac {3{\sqrt {3}}}{2p{\sqrt {-p}}}}=0}
.