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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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al caso in cui due de’ punti dati siano infinitamente vicini sopra una retta data, ossia in altre parole, al caso in cui la curva richiesta debba passare per quattro punti dati ed in uno di questi toccare una retta data; ecc.

Se nelle due stelle projettive, i cui centri sono $o$, $o'$, la retta $oo'$ corrisponde a sè medesima, ogni punto di essa è comune a due raggi corrispondenti (sovrapposti), epperò quella retta è parte del luogo di second’ordine generato dalle due stelle projettive. Dunque questo luogo è composto della $oo'$ e di un’altra retta, la quale conterrà le intersezioni de’ raggi corrispondenti delle due stelle (50, b).

60. Date due punteggiate projettive ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, di qual classe è la curva inviluppata dalla retta che unisce due punti corrispondenti? ossia, quante di tali rette passano per un punto arbitrario $o$? Consideriamo le due stelle che si ottengono unendo $o$ ai punti della retta ${\rm {A}}$ ed ai corrispondenti punti di ${\rm {A'}}$: tali stelle sono projettive alle due punteggiate, epperò projettive tra loro. Ogni retta che unisca due punti corrispondenti di ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ e passi per $o$, è evidentemente un raggio comune delle due stelle, cioè un raggio che coincide col proprio corrispondente. Ma due stelle projettive concentriche hanno due raggi comuni (10); dunque per $o$ passano due rette, ciascuna delle quali è una tangente dell’inviluppo di cui si tratta. Per conseguenza quest’inviluppo è di seconda classe.

Il punto comune alle due rette date si chiami $p$ o $q'$, secondo che si consideri come appartenente alla prima o alla seconda punteggiata; e siano $p'$, $q$ i punti corrispondenti a $p$, $q'$. Le rette $pp'(\mathrm {A'} )$ e $qq'(\mathrm {A} )$ saranno tangenti alla curva di seconda classe; dunque questa è tangente alle rette date.

Reciprocamente: due tangenti fisse qualunque ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ di una curva di seconda classe sono incontrate da una tangente variabile ${\rm {M}}$ della stessa curva in punti $a$, $a'$ che formano due punteggiate projettive. Quando ${\rm {M}}$ è prossima a confondersi con ${\rm {A}}$, $a$ è il punto in cui ${\rm {A}}$ tocca la curva; dunque ${\rm {A}}$ tocca la curva nel punto $q$ corrispondente al punto $q'$ di ${\rm {A'}}$, ove questa retta è segata da ${\rm {A}}$.

Di qui si deduce la costruzione, per tangenti, della curva di seconda classe determinata da cinque tangenti. Due di queste sono incontrate dalle altre tre in tre coppie di punti, i quali, assunti come corrispondenti, individuano due punteggiate projettive. Qualunque altra tangente della curva richiesta sarà determinata da due punti corrispondenti di queste punteggiate.

Se nelle due rette punteggiate projettive ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, il punto di segamento delle due rette corrisponde a sè medesimo, ogni retta condotta per esso unisce due punti corrispondenti (coincidenti); laonde quel punto è parte dell’inviluppo di seconda classe generato dalle due punteggiate. Cioè quest’inviluppo sarà composto del detto punto e di un secondo punto, pel quale passeranno tutte le rette congiungenti due punti corrispondenti delle punteggiate date (3).