Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/400

386

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Per esempio: se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $o'$, la conica polare di $o'$ sarà il sistema di due rette segantisi in $o$; e viceversa.

(a) Se la data curva ${\rm {C_{n}}}$ ha una cuspide $d$, la conica polare di questo punto si risolve in due rette coincidenti nella retta che tocca ${\rm {C_{n}}}$ in $d$ (72). Ciascun punto $m$ di questa retta può risguardarsi come un punto doppio della conica polare di $d$; dunque $d$ sarà un punto doppio della prima polare di $m$, ossia:

Se la curva fondamentale ha una cuspide, la prima polare di un punto qualunque della tangente cuspidale passa due volte per la cuspide.

Queste prime polari aventi un punto doppio in $d$ formano un fascio (77, a); epperò fra esse ve ne sono due, per le quali $d$ è una cuspide (48). Una delle due prime polari cuspidate è quella che ha per polo lo stesso punto $d$ (72).

(b) L’$(s)$^ma polare di un punto $m$ rispetto all’$(r)$^ma polare di un altro punto $o$ abbia un punto doppio $o'$; vale a dire (69, c), l’$(r)$^ma polare di $o$ rispetto all’$(s)$^ma polare di $m$ passi due volte per $o'$. Applicando all’$(s)$^ma polare di $m$ il teorema dimostrato per la curva ${\rm {C_{n}}}$ (78), troviamo che l’$((n-s)-r-1)$^ma polare di $o'$ rispetto all’$(s)$^ma polare di $m$ ha un punto doppio in $o$. Dunque:

Se l’$(s)$^ma polare di $m$ rispetto all’$(r)$^ma polare di $o$ ha un punto doppio $o'$, viceversa l’$(s)$^ma polare di $m$ rispetto all’$(n-r-s-1)$^ma polare di $o'$ avrà un punto doppio in $o$.

79. L’$(r)$^ma polare di $o$ abbia una cuspide $o'$; l’$(n-r-1)$^ma polare di $o'$ passerà due volte per $o$ (78). Se poi si designa con $m$ un punto qualunque della retta che tocca nella cuspide $o'$ l’$(r)$^ma polare di $o$, la prima polare di $m$ rispetto alla stessa $(r)$^ma polare di $o$ avrà un punto doppio in $o'$ (78, a); epperò (78, b) la prima polare di $m$ rispetto all’$(n-r-2)$^ma polare di $o'$ avrà un punto doppio in $o$.

Da questa proprietà, fatto $r=1$, discende:

Se la prima polare di $o$ ha una cuspide $o'$, ciascun punto della tangente cuspidale ha per conica polare, relativamente alla cubica polare di $o'$, un pajo di rette incrociantisi in $o$.

È evidente che ciascuna di queste rette determina l’altra, vale a dire, tutte le analoghe paja di rette costituiscono un’involuzione (di secondo grado); onde nella tangente cuspidale vi saranno due punti, ciascun de’ quali avrà per conica polare (rispetto alla cubica polare di $o'$) un pajo di rette riunite in una sola retta passante per $o$.

Il punto $o$ è doppio per la conica polare (relativa alla cubica polare di $o'$) di ciascun punto $m$ della tangente cuspidale; viceversa adunque (78) $m$ è un punto doppio della conica polare di $o$ (relativa alla cubica polare di $o'$). Ossia: la retta che tocca la prima polare di $o$ nella cuspide $o'$, considerata come il sistema di due rette coincidenti, è la conica polare di $o$ rispetto alla cubica polare di $o'$.