Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.2.3

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati

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12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati

Supponiamo di avere a disposizione $Q$ campioni di dati, indipendenti l’uno dall’altro e composti da $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{Q}$ elementi rispettivamente; e, all’interno di ognuno di tali campioni, i dati siano suddivisi nei medesimi $P$ gruppi: indichiamo infine col simbolo $\nu _{ij}$ il numero di dati appartenenti al gruppo $i$ -esimo all’interno del campione $j$ -esimo.

Per fare un esempio, i campioni si potrebbero riferire alle regioni italiane e i gruppi al livello di istruzione (licenza elementare, media, superiore, laurea): così che i $\nu _{ij}$ rappresentino il numero di persone, per ogni livello di istruzione, residenti in ogni data regione; oppure (e questo è un caso che si presenta frequentemente nelle analisi fisiche) si abbiano vari istogrammi all’interno di ognuno dei quali i dati siano stati raggruppati secondo le medesime classi di frequenza: allora i $\nu _{ij}$ saranno il numero di osservazioni che cadono in una determinata classe in ogni istogramma.

Il problema che ci poniamo è quello di verificare l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa popolazione e siano perciò compatibili tra loro (test di omogeneità). Indichiamo con il simbolo $N$ il numero totale di dati a disposizione; e con $m_{i}$ (con $i=1,\ldots ,P$ ) il numero totale di dati che cadono nell’ $i$ -esimo gruppo in tutti i campioni a disposizione.

Tabella 12.1 - Un esempio delle cosiddette tabelle delle contingenze.

	Campioni
Gruppi	$\nu _{11}$	$\nu _{12}$	$\nu _{13}$	$\ldots$	$\nu _{1Q}$	$m_{1}$
	$\nu _{21}$	$\nu _{22}$	$\ldots$	$\ldots$	$\nu _{2Q}$	$m_{2}$
	$\nu _{31}$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$m_{3}$
	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
	$\nu _{P1}$	$\nu _{P2}$	$\ldots$	$\ldots$	$\nu _{PQ}$	$m_{P}$
	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	$\ldots$	$n_{Q}$	$N$

È consuetudine che dati di questo genere siano rappresentati in una tabella del tipo della 12.1, che si chiama tabella delle contingenze; e risulta [p. 211 modifica]ovviamente

$n_{j}=\sum _{i=1}^{P}\nu _{ij}$	$(j=1,2,\ldots ,Q)$ ;
$m_{i}=\sum _{j=1}^{Q}\nu _{ij}$	$(i=1,2,\ldots ,P)$ ;
$N=\sum _{j=1}^{Q}n_{j}=\sum _{i=1}^{P}m_{i}=\sum _{i,j}\nu _{ij}$ .

Vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale

X=N\left[\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{m_{i}\,n_{j}}}-1\right]

(12.14)

è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $(P-1)(Q-1)$ gradi di libertà: a questo scopo supponiamo innanzi tutto sia valida l’ipotesi che i dati provengano tutti dalla medesima popolazione, ed indichiamo con i simboli $p_{i}$ e $q_{j}$ le probabilità che un componente di tale popolazione scelto a caso cada rispettivamente nel gruppo $i$ -esimo o nel campione $j$ -esimo; e sappiamo inoltre che (ammessa però vera l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa distribuzione) questi due eventi sono statisticamente indipendenti: per cui ognuno dei dati ha probabilità complessiva $p_{i}q_{j}$ di cadere in una delle caselle della tabella delle contingenze.

Possiamo stimare i $P$ valori $p_{i}$ a partire dai dati sperimentali: si tratta in realtà solo di $P-1$ stime indipendenti, perché, una volta ricavate le prime $P-1$ probabilità, l’ultima di esse risulterà univocamente determinata dalla condizione che la somma complessiva valga 1. Analogamente possiamo anche stimare i $Q$ valori $q_{j}$ dai dati sperimentali, e si tratterà in questo caso di effettuare $Q-1$ stime indipendenti.

Le stime di cui abbiamo parlato sono ovviamente

p_{i}={\frac {m_{i}}{N}}

e

q_{j}={\frac {n_{j}}{N}}

(12.15)

e, applicando le conclusioni del paragrafo precedente (l’equazione (12.9)), la [p. 212 modifica]variabile

$X$	$=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}-Np_{i}q_{j}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}$
	$=\sum _{i,j}\left[{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-2\nu _{ij}+Np_{i}q_{j}\right]$
	$=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-2N+N$
	$=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-N$

deve essere distribuita come il $\chi ^{2}$ .

Sostituendo in quest’ultima espressione i valori (12.15) per $p_{i}$ e $q_{j}$ , essa si riduce alla (12.14); il numero di gradi di libertà è pari al numero di contributi sperimentali indipendenti, $PQ-1$ (c’è il vincolo che la somma totale sia $N$ ), diminuito del numero $(P-1)+(Q-1)$ di parametri stimato sulla base dei dati: ovverosia proprio $(P-1)(Q-1)$ come anticipato.