Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.5

by Maurizio Loreti

12.5 La compatibilità di due valori misurati

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

12.5 La compatibilità di due valori misurati

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12.5 La compatibilità di due valori misurati

Un altro caso frequente è quello in cui si hanno a disposizione due campioni di misure, e si vuole verificare l’ipotesi statistica che essi provengano da popolazioni aventi lo stesso valore medio: un caso particolare è quello dell’ipotesi consistente nell’essere i due campioni composti da misure della stessa grandezza fisica, che hanno prodotto differenti stime come effetto della presenza in entrambi degli errori; errori che assumiamo ancora seguire la legge normale.

Siano ad esempio un primo campione di $N$ misure $x_{i}$, ed un secondo campione di $M$ misure $y_{j}$; indichiamo con ${\bar {x}}$ e ${\bar {y}}$ le medie dei due campioni, con ${\sigma _{x}}^{2}$ e ${\sigma _{y}}^{2}$ le varianze delle popolazioni da cui tali campioni provengono, e con $\delta ={\bar {x}}-{\bar {y}}$ la differenza tra le due medie.

Sappiamo già che i valori medi e le varianze delle medie dei campioni sono legati ai corrispondenti valori relativi alle popolazioni dalle

$E({\bar {x}})=E(x)$

,

$E({\bar {y}})=E(y)$

e

${\text{Var}}({\bar {x}})\;=\;{\frac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}$

,

${\text{Var}}({\bar {y}})\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}$

per cui risulterà, se i campioni sono tra loro statisticamente indipendenti e se si ammette valida l’ipotesi (da verificare) che abbiano la stessa media,

$E(\delta )\;=\;E({\bar {x}}-{\bar {y}})\;=\;E(x)-E(y)=0$

e

${\text{Var}}(\delta )\;=\;{\text{Var}}({\bar {x}}-{\bar {y}})\;=\;{\frac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}+{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}$.

Inoltre, essendo ${\bar {x}}$, ${\bar {y}}$ (e quindi $\delta$) combinazioni lineari di variabili normali, seguiranno anch’esse la legge normale; e la verifica dell’ipotesi che i campioni provengano da popolazioni aventi la stessa media si traduce nella verifica dell’ipotesi che $\delta$ abbia valore vero nullo.

Tale verifica, essendo $\delta$ distribuita secondo la legge normale, si esegue come abbiamo visto nel paragrafo precedente: si fissa arbitrariamente un valore del livello di confidenza, si determina il corrispondente valore limite degli scarti normalizzati, e lo si confronta con il valore di

${\frac {\delta -E(\delta )}{\sigma _{\delta }}}\;=\;{\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}+{\dfrac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}}}}$.

Ovviamente vale anche qui l’osservazione fatta nel paragrafo precedente: non conoscendo le deviazioni standard delle popolazioni, $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$, siamo costretti ad usare in loro vece le stime ottenute dai campioni, $s_{x}$ ed $s_{y}$; e questo si ammette generalmente lecito quando la dimensione di entrambi i campioni è almeno pari a 30.

In caso contrario, presupponendo cioè di avere a disposizione piccoli campioni per almeno una delle due variabili, limitiamo la nostra analisi al caso in cui si sappia con sicurezza che le due popolazioni $x$ ed $y$ abbiano la stessa varianza,

${\sigma _{x}}^{2}\;=\;{\sigma _{y}}^{2}\;\equiv \;\sigma ^{2}$

e definiamo la grandezza $S^{2}$ (varianza globale dei campioni) come

$S^{2}$	$={\frac {1}{N+M-2}}\cdot \left\{\sum _{i=1}^{N}\left[x_{i}-{\bar {x}}\right]^{2}+\sum _{j=1}^{M}\left[y_{j}-{\bar {y}}\right]^{2}\right\}$
	$={\frac {(N-1)\,{s_{x}}^{2}+(M-1)\,{s_{y}}^{2}}{N+M-2}}$.

Sapendo, dall’equazione (12.8), che le due variabili

$(N-1){\frac {{s_{x}}^{2}}{\sigma ^{2}}}$

e

$(M-1)\,{\frac {{s_{y}}^{2}}{\sigma ^{2}}}$

sono entrambe distribuite come il $\chi ^{2}$, con $N-1$ ed $M-1$ gradi di libertà rispettivamente, sfruttando la regola di somma enunciata a pagina 199 si ricava che la variabile casuale

$X\;=\;{\frac {(N-1)\,{s_{x}}^{2}+(M-1)\,{s_{y}}^{2}}{\sigma ^{2}}}\;=\;(N+M-2)\,{\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N+M-2$ gradi di libertà; essendo inoltre $\delta ={\bar {x}}-{\bar {y}}$ una variabile normale con media e varianza date da

$E(\delta )=E(x)-E(y)$

e

${\sigma _{\delta }}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}+{\frac {\sigma ^{2}}{M}}$

la variabile casuale

$u\;=\;{\frac {\delta -E(\delta )}{\sigma _{\delta }}}\;=\;{\frac {({\bar {x}}-{\bar {y}})-\left[E(x)-E(y)\right]}{\sqrt {{\sigma }^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$

è normale con media 0 e varianza 1. Per concludere,

$t\;=\;{\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X}{N+M-2}}}}\;=\;{\frac {({\bar {x}}-{\bar {y}})-\left[E(x)-E(y)\right]}{\sqrt {S^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$

(12.18)

deve seguire la distribuzione di Student con $N+M-2$ gradi di libertà; di conseguenza, per verificare l’ipotesi che le due popolazioni normali da cui i campioni provengono abbiano la stessa media ammesso già che posseggano la stessa varianza, basta confrontare con le apposite tabelle della distribuzione di Student il valore della $t$ ottenuta dalla (12.18) ponendovi $E(x)-E(y)=0$:

$t={\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}}{\sqrt {S^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$.