Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.6

by Maurizio Loreti

13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale

Ancora un esempio: sia una popolazione normale $N(x;\mu ,\sigma )$ dalla quale vengano ottenuti $N$ valori indipendenti $x_{i}$, ma questa volta la varianza $\sigma$ sia ignota; vogliamo discriminare, sulla base del campione, tra l’ipotesi nulla che il valore medio della popolazione abbia un valore prefissato e l’ipotesi alternativa complementare,

${\begin{cases}H_{0}\;\equiv \;\left\{\mu =\mu _{0}\right\}\\H_{a}\;\equiv \;\left\{\mu \neq \mu _{0}\right\}\end{cases}}$

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;-N\,\ln \sigma -{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}$

(13.10)

ed essendo le stime di massima verosimiglianza date, come avevamo trovato nel paragrafo 11.5, da

${\widehat {\mu }}={\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

e

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}$

ne deriva, sostituendo nella (13.10), che

$\ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]+{\frac {N}{2}}\,\ln N-{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {N}{2}}$.

D’altra parte, ammessa vera $H_{0}$, abbiamo che

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})=-N\,\ln \sigma -{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}$

{{no rientro}e, derivando rispetto a $\sigma$,

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma }}\,\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})=-{\frac {N}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}$.

Annullando la derivata prima, si trova che l’unico estremante di ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})$ si ha per

$\sigma _{0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}$

mentre la derivata seconda vale

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \sigma ^{2}}}\,\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})={\frac {N}{\sigma ^{2}}}-{\frac {3}{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}$

e, calcolata per $\sigma =\sigma _{0}$,

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}(\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \sigma ^{2}}}\right|_{\sigma =\sigma _{0}}\;=\;-{\frac {2N^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}}\;<\;0$

per cui l’estremante è effettivamente un massimo. Sostituendo,

$\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}\right]+{\frac {N}{2}}\,\ln N-{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {N}{2}}$

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})-\ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\left\{\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}\right]-\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]\right\}$

ed infine

$\ln \lambda$	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left[{\frac {\sum _{i}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}\right]$
	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left[1+{\frac {N\left({\bar {x}}-\mu _{0}\right)^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}\right]$
	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left(1+{\frac {t^{2}}{N-1}}\right)$

tenendo conto dapprima del fatto che $\sum _{i}(x_{i}-\mu _{0})^{2}=\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+N({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}$, e definendo poi una nuova variabile casuale

$t\;=\;\left({\bar {x}}-\mu _{0}\right){\sqrt {\frac {N(N-1)}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$.

Un qualunque metodo per il rigetto di $H_{0}$ definito confrontando $\lambda$ con un prefissato valore $k$ si traduce, in sostanza, in un corrispondente confronto da eseguire per $t$:

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;{\bigl \{}\ln \lambda <\ln k{\bigr \}}$

che porta alla

$-{\frac {N}{2}}\,\ln \left(1+{\frac {t^{2}}{N-1}}\right)<\ln k$

ed alla condizione

$t^{2}\;>\;(N-1)\,\left(k^{-{\tfrac {2}{N}}}-1\right)$;

ovvero si rigetta l’ipotesi nulla se $|t|$ è maggiore di un certo $t_{0}$ (derivabile dall’equazione precedente), e la si accetta altrimenti.

Ma $t$ (vedi anche l’equazione (12.17)) segue la distribuzione di Student a $N-1$ gradi di libertà, e quindi accettare o rigettare $H_{0}$ sotto queste ipotesi si riduce ad un test relativo a quella distribuzione: come già si era concluso nel capitolo 12. Il livello di significanza $\alpha$ è legato a $t_{0}$ dalla

${\frac {\alpha }{2}}=\int _{t_{0}}^{+\infty }\!F(t;N-1)\,\mathrm {d} t$

(indicando con $F(t;N)$ la funzione di frequenza di Student a $N$ gradi di libertà), tenendo conto che abbiamo a che fare con un two-tailed test (${\mathcal {R}}_{k}\equiv {\bigl \{}|t|>t_{0}{\bigr \}}$).

Insomma non c’è differenza, in questo caso, tra quanto esposto nel capitolo precedente e la teoria generale discussa in quello presente: nel senso che i due criteri di verifica dell’ipotesi portano per questo problema allo stesso metodo di decisione (ma, come abbiamo visto nel paragrafo precedente, non è sempre così).