Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.1
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4.1 Istogrammi
Una volta che si disponga di un insieme di più misure della stessa grandezza fisica (nella statistica si parla in genere di un campione di misure), è opportuno cercare di organizzarle in modo che il loro significato risulti a colpo d’occhio evidente; la maniera più consueta di rappresentare graficamente le misure è quella di disporle in un istogramma.
Essendovi una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti di una retta orientata, ognuna delle nostre misure può essere rappresentata su di essa da un punto; l’istogramma è un particolare tipo di diagramma cartesiano in cui l’asse delle ascisse è dedicato a tale rappresentazione. Tuttavia è facile rendersi conto del fatto che non tutti i valori della variabile sono in realtà permessi, perché gli strumenti forniscono per loro natura un insieme discreto di valori essendo limitati ad un numero finito di cifre significative.
Conviene allora mettere in evidenza sull’asse delle ascisse tutti i possibili valori che possono essere ottenuti da una misura reale; cioè punti separati da un intervallo che corrisponde alla cifra significativa più bassa dello strumento, o comunque alla più piccola differenza apprezzabile con esso se l’ultima cifra deve essere stimata dall’osservatore (ad esempio il decimo di grado stimato ad occhio su un goniometro avente scala al mezzo grado).
Nelle ordinate del diagramma si rappresenta poi la frequenza assoluta con la quale i diversi valori si sono presentati; questo si fa associando ad ognuna delle misure un rettangolo avente area unitaria, che viene riportato con la base al di sopra dell’intervallo appropriato ogni volta che uno dei possibili valori è stato ottenuto.
Nel caso consueto in cui l’asse delle ascisse venga diviso in intervalli aventi tutti la stessa ampiezza, tutti questi rettangoli avranno ovviamente la stessa altezza: di modo che è possibile, dall’altezza di una colonna di rettangoli unitari sovrapposti, risalire al numero di dati del campione aventi un determinato valore.
Figura 4a - Esempio di istogramma (100 misure ripetute della somma degli angoli interni di un triangolo).
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Se le frequenze assolute risultassero troppo piccole, può essere opportuno raggruppare le misure in classi di frequenza; ciascuna classe corrispon dendo ad un intervallo multiplo opportuno del più piccolo rappresentabile discusso sopra.
Anziché costruire l’istogramma riportandovi un risultato per volta, si possono contare prima le frequenze in ciascuna classe e disegnare sopra ognuna di esse un rettangolo avente area corrispondente alla frequenza ivi osservata. L’area dell’istogramma sopra ad un qualsiasi intervallo è proporzionale alla frequenza assoluta con cui si è osservato un valore che cade entro di esso; uguale, se si assume come unità di misura per le aree quella del rettangolo di altezza unitaria. L’area totale sottesa dall’istogramma è, sempre rispetto a tale unità, pari al numero di osservazioni .
Un’altra rappresentazione, che è poco usata ma vantaggiosa perché non richiede la previa (e in qualche misura arbitraria) definizione delle classi di frequenza, è quella della frequenza cumulativa, assoluta o relativa. Essa è definita, per ogni valore dell’ascissa , dal numero (assoluto o relativo) di volte per cui il risultato della misura è stato minore o uguale a : si tratta dunque di una funzione monotona non decrescente con uno scalino pari rispettivamente ad 1 o a in corrispondenza di ognuno degli valori osservati. Risulta inoltre
![{\displaystyle 0=F(-\infty )\leq F(x)\leq F(+\infty )={\begin{cases}N&{\text{(ass.)}}\\[4mm]1&{\text{(rel.)}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32daee341d8afe052e2857348cdd232f8014cb0)