Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.3.1

by Maurizio Loreti

4.3.1 Semidispersione massima e quantili

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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4.3.1 Semidispersione massima e quantili

La più grossolana delle stime statistiche di dispersione si effettua trovando il massimo ed il minimo valore osservato: la semidispersione massima è definita come la semidifferenza tra questi due valori,

${\frac {x_{\max }-x_{\min }}{2}}$.

Essa ha il difetto di ignorare la maggior parte dei dati e particolarmente quelli, generalmente preponderanti, prossimi al centro della distribuzione; inoltre normalmente aumenta allʼaumentare del numero di misure, invece di tendere ad un valore determinato. Il doppio della semidispersione massima

$R=x_{\max }-x_{\min }$

è anchʼesso usato come stima della dispersione di un campione, e viene chiamato range.

Grandezze frequentemente usate per caratterizzare una distribuzione nella statistica (non nella fisica) sono i quartili, i decili ed i percentili (collettivamente quantili), indicati con $Q_{i}$ $(i=1,2,3)$; con $D_{i}$ $(i=1,\ldots ,9)$; e con $P_{i}$ $(i=1,\ldots ,99)$ rispettivamente. Essi sono definiti (analogamente alla mediana) come quei valori della $x$ che dividono la distribuzione rispettivamente in $4$, $10$ e $100$ parti di uguale area; ovviamente vale la

$Q_{2}\equiv D_{5}\equiv P_{50}\equiv {\tilde {x}}.$

Come stima della dispersione di una distribuzione è usato dagli statistici l’intervallo semiinterquartilico $Q=(Q_{3}-Q_{1})/2$, come pure la differenza $P_{90}-P_{10}$ tra il novantesimo ed il decimo percentile; tali intervalli esistono sempre, ma non sono padroneggiabili agevolmente negli sviluppi teorici.