Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.6.3

by Maurizio Loreti

5.6.3 Il teorema di Bernoulli

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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5.6.3 Il teorema di Bernoulli

Sia un qualsiasi evento casuale $E$ avente probabilità $p$ di verificarsi; indichiamo con $q=1-p$ la probabilità del non verificarsi di $E$ (cioè la probabilità dellʼevento complementare ${\bar {E}}$).

Consideriamo poi un insieme di $N$ prove nelle quali si osserva se $E$ si è o no verificato; ed introduciamo una variabile casuale $y$, definita come il numero di volte in cui $E$ si è verificato in una di tali prove. Ovviamente $y$ può assumere i due soli valori 1 (con probabilità $p$) e 0 (con probabilità $q$); la sua speranza matematica è perciò data da

$E(y)=1\cdot p+0\cdot q=p$.

(5.11)

La frequenza relativa $f$ dell’evento $E$ nelle $N$ prove si può chiaramente esprimere (indicando con $y$, il valore assunto dalla variabile casuale $y$ nella $i$-esima di esse) come

$f={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}$,

ossia è data dal valore medio della y sul campione di prove, ${\bar {y}}$; ma questʼultimo (per il teorema di Čebyšef¹) deve convergere statisticamente, allʼaumentare di $N$, alla speranza matematica per $y$: che vale proprio $p$. Riassumendo, abbiamo così dimostrato il

Teorema (di Bernoulli, o legge “dei grandi numeri”): la frequenza relativa di qualunque evento casuale converge (statisticamente) alla sua probabilità allʼaumentare del numero delle prove.

Note

1. Il teorema di Čebyšef vale per tutte le variabili casuali per le quali esistano sia la speranza matematica che la varianza: la prima è espressa dallʼequazione (5.11), la seconda sarà ricavata più tardi nellʼequazione (8.8) a pagina 109