Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.4

by Maurizio Loreti

6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica

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6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica

La speranza matematica della funzione $e^{tx}$ per una variabile casuale continua x prende il nome di funzione generatrice dei momenti della variabile stessa; la indicheremo nel seguito col simbolo $M_{x}(t)$. Il motivo del nome è che risulta, indicando con $f(x)$ la densità di probabilità di x:

$M_{x}(t)=E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

(6.4)

(per una variabile continua, oppure

$M_{x}(t)=\sum \nolimits _{i}p_{i}e^{tx_{i}}$

per una variabile discreta); e, ricordando sia lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale

$e^{tx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(tx)^{k}}{k!}}$

che la definizione dei momenti rispetto all’origine, se questi esistono tutti fino a qualsiasi ordine risulta anche

$M_{x}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\lambda _{k}$

da cui

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}M_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=\lambda _{k}$

e, in definitiva, derivando successivamente la funzione generatrice si possono ricavare tutti i momenti della funzione di frequenza da cui essa discende. Se interessa invece uno dei momenti non rispetto all’origine, ma rispetto al valore medio $\lambda$, basta considerare l’altra funzione

${\overline {M}}_{x}(t)=E\left[e^{t(x-\lambda )}\right]=e^{-t\lambda }M_{x}(t)$

(6.5)

e si trova facilmente che risulta

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}{\overline {M}}_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=\mu _{k}$.

La speranza matematica della funzione $e^{itx}$ si chiama invece funzione caratteristica della variabile casuale x, e si indica con $\phi _{x}(t)$:

$\phi _{x}(t)=E(e^{itx})=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)\,\mathrm {d} x$

(6.6)

(per una variabile continua, e

$\phi _{x}(t)=\sum \nolimits _{k}p_{k}e^{itx_{k}}$

(6.7)

per una variabile discreta); e, se esistono i momenti di qualsiasi ordine rispetto all’origine, risulta anche

$\phi _{x}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{k}}{k!}}\lambda _{k}$

(6.8)

dalla quale si ricava

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}\phi _{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=i^{k}\lambda _{k}$.

(6.9)

Queste funzioni sono importanti in virtù di una serie di teoremi, che citeremo qui senza dimostrarli:

• I momenti (se esistono fino a qualunque ordine) caratterizzano univocamente una variabile casuale; se due variabili casuali hanno gli stessi momenti fino a qualsiasi ordine, la loro densità di probabilità è identica.
• La funzione generatrice esiste solo se esistono i momenti fino a qualsiasi ordine; e anch’essa caratterizza univocamente una variabile casuale, nel senso che se due variabili hanno la stessa funzione generatrice la loro densità di probabilità è identica.
• La $\phi _{x}(t)$ prima definita si chiama anche trasformata di Fourier della funzione $f(x)$; anch’essa caratterizza univocamente una variabile casuale nel senso su detto. Le proprietà che contraddistinguono una funzione che rappresenti una densità di probabilità implicano poi che la funzione caratteristica, a differenza della funzione generatrice dei momenti, esista sempre per qualsiasi variabile casuale; la (6.9) è però valida solo se i momenti esistono fino a qualsiasi ordine. Inoltre, se è nota la $\phi _{x}(t)$, la si può sempre invertire (riottenendo da essa la f) attraverso la

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ixt}\phi _{x}(t)\,\mathrm {d} t$

(6.10)

(trasformata inversa di Fourier).

Vogliamo infine ricavare una relazione che ci sarà utile più avanti: siano le N variabili casuali continue $x_{k}$ (che supponiamo tutte statisticamente indipendenti tra loro), ognuna delle quali sia associata ad una particolare funzione caratteristica $\phi _{k}(t)$; il problema che vogliamo affrontare consiste nel determinare la funzione caratteristica della nuova variabile casuale S, definita come loro somma:

$S=\sum _{k=1}^{N}x_{k}$.

Il valore di ogni $x_{k}$ sarà univocamente definito dai possibili risultati di un qualche evento casuale $E_{k}$; per cui la S si può pensare univocamente definita dalle possibili associazioni di tutti i risultati di questi N eventi — associazioni che, in sostanza, corrispondono alle possibili posizioni di un punto in uno spazio cartesiano N-dimensionale, in cui ognuna delle variabili $x_{k}$ sia rappresentata su uno degli assi.

Visto che i valori $x_{k}$ sono (per ipotesi) tra loro tutti statisticamente indipendenti, la probabilità di ottenere una particolare N-pla è data dal prodotto delle probabilità relative ad ogni singolo valore: e, se indichiamo con $f_{k}(x_{k})$ la funzione densità di probabilità della generica $x_{k}$, la probabilità di ottenere un determinato valore per la S è data da

$\mathrm {d} P\equiv {\mathcal {g}}(S)\mathrm {d} S=\prod _{k=1}^{N}f_{k}(x_{k})\,\mathrm {d} x_{k}$

(dS rappresenta un intorno (ipercubico) infinitesimo del punto S, di coordinate cartesiane $\{x_{k}\}$ nello spazio N-dimensionale prima descritto, corrispondente agli N intorni unidimensionali $\mathrm {d} x_{k}$ dei valori assunti dalle N variabili casuali $x_{k}$); e la densità di probabilità per la S vale quindi

${\mathcal {g}}(S)=\prod _{k=1}^{N}f_{k}(x_{k})$.

La funzione caratteristica di S è, dall’equazione di definizione (6.6),

$\phi _{S}(t)$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{itS}{\mathcal {g}}(S)\,\mathrm {d} S$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\prod _{k=1}^{N}e^{itx_{k}}f_{k}(x_{k})\,\mathrm {d} x_{k}$

ed infine

$\phi _{S}(t)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{k}(t)$

(6.11)

Quindi la funzione caratteristica della somma di N variabili casuali statisticamente indipendenti è pari al prodotto delle loro funzioni caratteristiche.