Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.2

by Maurizio Loreti

7.2 Cenni sulle variabili casuali in pià di due dimensioni

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

7.2 Cenni sulle variabili casuali in pià di due dimensioni

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7.2 Cenni sulle variabili casuali in più di due dimensioni

Estendendo a spazi cartesiani a più di due dimensioni il concetto di densita di probabilità, possiamo pensare di associare ad un evento casuale E descritto da N variabili continue $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ una funzione f di tutte queste variabili; la probabilità che, simultaneamente, ognuna di esse cada in un intervallo infinitesimo attorno ad un determinato valore sarà poi data da

$\mathrm {d} P=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\,\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N}$.

Usando la legge della probabilità totale e la definizione dell’operazione di integrazione, è poi immediato riconoscere che la probabilità dell’evento casuale consistente nell’essere ognuna delle $x_{i}$ compresa in un determinato intervallo finito $\left[a_{i},b_{i}\right]$ è data da

$P=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\mathrm {d} x_{1}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{a_{N}}^{b_{N}}\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$.

Similmente, poi, se consideriamo il sottoinsieme delle prime M variabili $x_{i}$ (con $M<N$), la probabilità che ognuna di esse cada all’interno di intervallini infinitesimi attorno ad una M-pla di valori prefissati, indipendentemente dal valore assunto dalle altre $N-M$ variabili, è data da

$\mathrm {d} P$	$\equiv f^{M}(x_{1},\ldots ,x_{M})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{M}$
	$=\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{M}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{M+1}\,\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{M+2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$

dove gli integrali definiti sulle $N-M$ variabili che non interessano si intendono estesi a tutto l’asse reale; potendosi senza perdere in generalità assumere che tale sia il loro dominio di esistenza, definendo eventualmente la f come identicamente nulla al di fuori del reale intervallo di variabilità se esse fossero limitate.

La $f^{M}$ definita dalla equazione precedente prende il nome di densità di probabilità marginale delle M variabili casuali $x_{1},\ldots ,x_{M}$; infine la condizione di normalizzazione si scriverà

$\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{1}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=1$.

Definendo, analogamente a quanto fatto nel paragrafo 7.1, la densità di probabilità delle M variabili casuali $x_{j}$ (con $j=1,2,\ldots ,M$ e $M<N$) condizionata dai valori assunti dalle restanti $N-M$ variabili attraverso la

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M}|x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N})={\frac {f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{f^{M}(x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N})}}$

(7.7)

il concetto di indipendenza statistica può facilmente essere generalizzato a sottogruppi di variabili: diremo che le M variabili $x_{j}$ sono statisticamente indipendenti dalle restanti $N-M$ quando la probabilità che le $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M}$ assumano determinati valori non dipende dai valori assunti dalle $x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N}$ — e dunque quando la densità condizionata (7.7) è identicamente uguale alla densità marginale $f^{M}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})$.

Esaminando la (7.7) si può facilmente capire come, perché questo avvenga, occorra e basti che la densità di probabilità complessiva sia fattorizzabile nel prodotto di due termini: il primo dei quali sia funzione solo delle prime M variabili ed il secondo dei quali dipenda soltanto dalle altre $N-M$; ovviamente ognuno dei fattori coincide con le probabilità marginali, per cui la condizione e espressa matematicamente dalla formula

$f(x_{1},\ldots ,x_{N})=f^{M}(x_{1},\ldots ,x_{M})\cdot f^{M}(x_{M+1},\ldots ,x_{N})$

e, in particolare, le variabili sono tutte indipendenti tra loro se e solo se risulta

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=f^{M}(x_{1})\cdot f^{M}(x_{2})\cdots f^{M}(x_{N})$.

(7.8)

Nel caso che esista un differente insieme di N variabili $y_{i}$, in grado di descrivere lo stesso fenomeno casuale E, il requisito che la probabilità di realizzarsi di un qualunque sottoinsieme dei possibili risultati (l’integrale definito, su una qualunque regione $\Omega$ dello spazio ad N dimensioni, della funzione densità di probabilità) sia invariante per il cambiamento delle variabili di integrazione, porta infine a ricavare la formula di trasformazione delle densità di probabilità per il cambiamento di variabili casuali nel caso multidimensionale:

$f(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\cdot \left|{\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}\right|$

(7.9)

dove con il simbolo

$\left|{\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}\right|$

si è indicato il valore assoluto del determinante Jacobiano delle x rispetto alle y:

${\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}=\det \left\|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{N}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{N}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{N}}}\\\end{matrix}}\right\|$

che esiste sempre non nullo se la trasformazione tra l’insieme delle funzioni $x_{i}$ e quello delle funzioni $y_{i}$, è biunivoca; e che gode, sempre in questa ipotesi, della proprietà che

${\frac {\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}{\partial (x_{1},y_{x},\ldots ,x_{N})}}=\left[{\frac {\partial (x_{1},y_{x},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}\right]^{-1}$.