Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.1

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.1 La distribuzione uniforme

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8.1 La distribuzione uniforme

Il caso più semplice, dal punto di vista teorico, è quello di una variabile casuale x che possa assumere solo valori compresi in un intervallo finito avente estremi costanti prefissati, $[a,b]$ ; e ivi con probabilità uguale per ogni punto¹.

Questo implica che la densità di probabilità $f(x)$ di questa variabile debba essere definita come

${\begin{cases}f(x)=0&{\text{per }}x<a{\text{ e per }}x>b;\\f(x)={\frac {1}{b-a}}={\text{cost.}}&{\text{per }}a\leq x\leq b.\end{cases}}$

(il valore costante di $f(x)$ quando $x\in [a,b]$ e fissato dalla condizione di [p. 94 modifica]normalizzazione). La funzione di distribuzione $F(x)$ della x è data da

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\begin{cases}0&{\text{per }}x<a;\\[1em]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{per }}a\leq x\leq b;\\[1em]1&{\text{per }}x>b.\end{cases}}$

I valori della media e della varianza della variabile casuale x, come si può facilmente calcolare, valgono

{\begin{cases}E(x)={\frac {a+b}{2}}\\[1em]{\text{Var}}(x)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}\end{cases}}

(8.1)

Per vedere una prima applicazione pratica della distribuzione uniforme, supponiamo di misurare una grandezza fisica usando uno strumento digitale: ad esempio una bilancia con sensibilità inversa di 1 grammo. Se, per semplicità, escludiamo la presenza di errori sistematici, il fatto che il display digitale indichi (ad esempio) 10 grammi significa solo che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a questo valore e minore di 11 grammi²; e tutti i valori interni a questo intervallo ci appaiono inoltre come ugualmente plausibili. Per questo motivo, viste le (8.1), in casi di questo genere si attribuisce all’oggetto pesato una massa di 10.5 g con un errore di $1/{\sqrt {12}}\approx 0.3$ g.

Note

↑ La frase è intuitiva, ma impropria; si intende qui che la probabilità, per la variabile casuale, di cadere in un intervallino di ampiezza (infinitesima) prefissata dx e centrato su un qualsivoglia punto del dominio di definizione, ha sempre lo stesso valore.
↑ La maggior parte degli strumenti digitali tronca il valore mostrato e si comporta appunto in questo modo; altri invece arrotondano il risultato e, se questo fosse il caso, vorrebbe dire che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a 9.5 g e minore di 10.5 g.

[1] La frase è intuitiva, ma impropria; si intende qui che la probabilità, per la variabile casuale, di cadere in un intervallino di ampiezza (infinitesima) prefissata dx e centrato su un qualsivoglia punto del dominio di definizione, ha sempre lo stesso valore.

[2] La maggior parte degli strumenti digitali tronca il valore mostrato e si comporta appunto in questo modo; altri invece arrotondano il risultato e, se questo fosse il caso, vorrebbe dire che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a 9.5 g e minore di 10.5 g.

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