Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.6

by Maurizio Loreti

C.4.6 Adeguatezza dell'interpolazione lineare o polinomiale in genere

../C.4.5 ../C.4.7 IncludiIntestazione 3 settembre 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

C.4.6 Adeguatezza dell'interpolazione lineare o polinomiale in genere

◄

C.4.5

C.4.7

►

C.4.6 Adeguatezza dell’interpolazione lineare o polinomiale in genere

Talvolta non si sa a priori che la relazione tra due variabili $x$ ed $y$ è di tipo lineare; ma, una volta eseguite le misure, si nota un loro approssimativo disporsi lungo una linea retta. In questo caso si può cercare di inferire una legge fisica dai dati sperimentali; ma come si può essere ragionevolmente sicuri che la relazione tra le due grandezze sia effettivamente lineare, anche limitandoci all’intervallo in cui sono distribuite le osservazioni?

Una possibilità è quella di eseguire interpolazioni successive con più curve polinomiali di grado $M$ crescente, del tipo

$y\;=\;P_{M}(x)\;=\;\sum _{k=0}^{M}a_{k}\,x^{k}$

(C.13)

e di osservare l’andamento del valore dei residui in funzione di $M$: al crescere del grado del polinomio questi diminuiranno, dapprima in modo rapido per poi assestarsi su valori, sempre decrescenti, ma più o meno dello stesso ordine di grandezza; ed infine si annulleranno quando $M=N-1$. Il valore di $M$ che segna la transizione tra questi due comportamenti ci dà il grado della curva polinomiale che descrive in modo soddisfacente la relazione tra le variabili senza per questo seguire le fluttuazioni casuali di ogni singola misura.

Nel caso in cui ognuno degli $N$ valori $y_{i}$ ha errore noto $\sigma _{i}$ (e le $y_{i}$ non sono correlate), la somma dei quadrati dei residui pesati in maniera inversamente proporzionale ai quadrati degli errori,

$S_{M}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {{\delta _{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {\left(y_{i}-{\widehat {y}}_{i}\right)^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}$

(le ${\widehat {y}}_{i}$ si intendono calcolate usando il polinomio interpolante $y=P_{M}(x)$ (C.13), i cui $M+1$ coefficienti siano stati stimati dai dati) è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N-M-1$ gradi di libertà; la probabilità di ottenere un determinato valore di $S_{M}$ sotto l’ipotesi $y=P_{M}(x)$ può dunque essere stimata dalle tabelle della distribuzione, e ci dà una misura statisticamente corretta dell’“accordo complessivo” tra i punti misurati ed un polinomio di grado $M$.

Per valutare numericamente la significatività della variazione di questo “accordo complessivo” dovuta ad un aumento di grado del polinomio interpolante, la regola di somma del $\chi ^{2}$ ci dice che la variazione della somma pesata dei quadrati dei residui, $S_{M-1}-S_{M}$, deve essere distribuita come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà; normalmente, in luogo di usare direttamente $S_{M-1}-S_{M}$, si considera l’altra variabile casuale

$F={\frac {S_{M-1}-S_{M}}{\dfrac {S_{M}}{N-M-1}}}$

(che rappresenta una sorta di “variazione relativa dell’accordo complessivo”), e la si confronta con la funzione di frequenza di Fisher a 1 e $(N-M-1)$ gradi di libertà; un valore di $F$ elevato, e che con piccola probabilità potrebbe essere ottenuto da quella distribuzione, implicherà che l’aumento di grado è significativo.