Elementi/Libro secondo/Propositione 15

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Euclide - Elementi (Antichità)
Traduzione dal greco di Niccolò Tartaglia (1543)

Libro secondo
Propositione 15

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[p. 49^r modifica]

Theorema .3. Propositione .15.

Puotemo descrivere un quadrato equale a uno dato triangolo.

Sia il dato triangolo .a. alquale noi volemo descrivere uno quadrato equale, designarò una superficie de lati equidistanti, e de angoli retti (per la quadragesima seconda del primo) equale al dato triangolo .a. laqual pongo sia la superficie .b.c.d.e. e se per caso li dati di quella fusseno equali, cioe, che lo dato .b.d. fusse equale al lato .d.e. noi haveressimo quello che cercamo, perche la detta [p. 49^v modifica]superficie per la diffinitione seria un quadrato, come se adimanda, ma se li lati seranno inequali all’hora agũgerò il lato minore, al lato maggiore in dieretto, e sia .c.f. cioè che .c.f. sia equale al .c.e. suo minor lato, alquale è agiunto indiretto al ..b.c. suo maggior lato secondo la rettitudine, hor tutta questa linea .b.f. dividerò in due equale in ponto .g. e fatto .g. centro sopra la linea .b.f. secondo la quantità della linea .g.b. definuerò il mezzi cerchio .b.h.f. e lo lato .e.c. allongarò per fina a tanto che’l seghi la circonferentia in ponto .h. hor dico che’l quadrato della linea .c.h. è equal al ditto triãgolo dato. Et per dimostrar questo io tirarò la linea .g.h. e perche la linea .f.b. divisa in due parti equali in põto .g. et in due parti inequali in ponto .c. quello che vien fatto del dutto della .b.c. in la .c.f. con lo quadrato della .e.g. (per la quinta di questa) è equale al quadrato della .g.f. e perche .g.h. è equale alla .g.f. (per la quartadecima diffinitione del primo) perche ambedue se parteno dal centro .g. è vanno alla circonferentia, adonque quello che vien fatto dal dutto della .b.c. in la .c.f. con lo quadrato della .g.c. serà equale al quadrato della .g.h. e perche il quadrato della g.h. si è equale (per la penultima del primo) alli duoi quadrati delle due linee .g.c. e .c.h. adonque li detti duoi quadrati de .g.c. et .c.h. seranno equali al detto quadrato, de .g.c. insieme con quello chè fatto dal dutto della .b.c. in la .c.f. levando adonque communamente da l’una e l’altra parte il quadrato della .c.g. restarà il quadrato solo della .c.h. equale a quello che vien fatto da dutto della .b.c. in la .c.f. e perche il dutto della .b.c. in la .c.f. è equalle alla superficie .b.c.d.e. perche .c.e. è equale alla .c.f. adonque il quadrato della linea .c.h. serà equale alla superficie .b.c.d.e. e perche la superficie .b.c.d.e. è equale al triangolo .a. adonque il quadrato della linea .c.h. serà equale (per la prima concettione) al triangolo .a. che è il proposito. Et nota che per questo modo se trova il lato tetrogonico de qual si voglia figura più longa da una banda che dall’altra, e simplicemẽte d’ogni figura contenuta da linee rette sia come si voglia. Perche ogni tal figura la resolvemo in triangoli, e de cadauno di quegli triangoli, trovamo il lato tetrogonico secondo la dottrina di questa propositione, et dapoi trovamo (per la penultima del primo) una linea la qual possi in tutti quei lati tetragonici trovati, essempli gratia, voglio al presente trovar il lato tetragonico della figura irregulare .a.b.c.d.e.f. resolvo quella in tre triangoli, quali sono .a.b.f.c.d.e. e .c.f.e. Anchora secõdo la dottrina di questa ritrovò li lati tetragonici di questi tre triangoli, quali siano .g.h:h.k. e .k.l. et rigo la .h.k. perpendicolarmente sopra la .g.h. e tiro la .g.k. [p. 50^r modifica] onde (per la penultima del primo) il quadrato della .g.k. seria equale alli quadrati delle due linee .g.h. e .h.k. e lo terzo lato .k.l. costituisco perpendicolarmente sopra la linea .g.k. e tiro la linea .g.l. e la linea .g.l. (per la detta penultima del primo) serà il lato tetragoncio di tutta la figura rettilinea proposta, ch’è il nostro proposito.

Il Tradottore.

El testo di questa ultima propositione di questo secondo libro in la seconda tradottione dice in questa forma.

Puotemo costituir un quadrato equale a un dato rettilineo.

Laqual propositione è più generale della soprascritta, perche lei propone tutto quello, che agionge il commentatore nella soprascritta, ma non la conclude, per il modo dato di sopra anci la conclude per la quadrigesima quinta del primo (dellaqual mãca la prima tradottione) cioe lui nol che sia costituido uno paralellogrãmo rettãgolo equal al dato rettilineo (per la detta quadragesima quinta del primo) dapoi precede come di sopra si fece del praralellogrammo .b.d.c.e.