Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Definizioni relative alle linee piane

Da Wikisource.
Art. 5. Definizioni relative alle linee piane

../Teoria dell'involuzione ../Punti e tangenti comuni a due curve IncludiIntestazione 25 gennaio 2009 75% matematica

Teoria dell'involuzione Punti e tangenti comuni a due curve

[p. 344 modifica] 28. Una linea piana può considerarsi generata dal movimento <continuo> di un punto o dal movimento di una retta: nel primo caso, essa è il luogo di tutte le posizioni del punto mobile; nel secondo, essa è l'inviluppo delle posizioni della retta mobile1.

Una retta, considerata come luogo de' punti situati in essa, è il più semplice esempio della linea-luogo.

Un punto, risguardato come inviluppo di tutte le rette incrociantisi in esso, è il caso più semplice della linea-inviluppo.

Un luogo dicesi dell'ordine , se una retta qualunque lo incontra in punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti). Il luogo di primo ordine è la retta. Un sistema di rette è un luogo dell'ordine . Due luoghi, i cui ordini siano rispettivamente formano insieme un luogo dell'ordine .

Un luogo dell'ordine non può, in virtù della sua definizione, essere incontrato da una retta in più di punti. Dunque, se un tal luogo avesse con una retta più di punti comuni, questa sarebbe parte di quello, cioè tutt' i punti della retta apparterrebbero al luogo.

Una linea curva di dato ordine si dirà semplice, quando non sia composta di linee d'ordine inferiore.

Un inviluppo dicesi della classe , se per un punto qualunque passano posizioni della retta inviluppante, ossia rette tangenti (reali, imaginarie, distinte o coincidenti). L'inviluppo di prima classe è il punto. Un sistema di punti è un inviluppo della classe . Due inviluppi, le cui classi siano , costituiscono, presi insieme, un inviluppo della classe .

Se ad un inviluppo della classe arrivano più di tangenti da uno stesso punto, questo appartiene necessariamente a quell' inviluppo, cioè tutte le rette condotte pel punto sono tangenti dell'inviluppo medesimo.

Una curva-inviluppo di data classe si dirà semplice, quando non sia composta di inviluppi di classe minore.

29. Consideriamo una curva-luogo dell'ordine . Se è una posizione del punto generatore, ossia un punto della curva, la retta che passa per e per la successiva posizione del punto mobile è la tangente alla curva in quel punto. Cioè, la curva luogo

[p. 345 modifica]delle posizioni di un punto mobile è anche l'inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto medesimo.

Nel punto di contatto la curva ha colla tangente due punti comuni (contatto bipunto); quindi le due linee avranno, in generale, altri punti d'intersecazione. Se due di questi punti coincidono in un solo , la retta sarà tangente alla curva anche in . In tal caso, la retta dicesi tangente doppia; e sono i due punti di contatto2.

Invece, se una delle intersezioni s'avvicina infinitamente ad , la retta avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso, la retta dicesi tangente stazionaria, perchè, se indichiamo con i tre punti infinitamente vicini che costituiscono il contatto, essa rappresenta due tangenti successive ; e può anche dirsi ch'essa sia una tangente doppia, i cui punti di contatto sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si suppone generata dal movimento di una retta, quando questa arriva nella posizione cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel senso opposto. Il punto di contatto della curva colla tangente stazionaria chiamasi flesso, perchè ivi la retta tocca e sega la curva, onde questa passa dall'una all'altra banda della retta medesima.

30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe . Se è una posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto ove è incontrata dalla tangente successiva, è il punto in cui la retta tocca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo del punto comune a due successive posizioni della retta stessa.

Per un punto qualunque si possono condurre, in generale, tangenti alla curva. Ma se si considera un punto della curva, due di quelle tangenti sono successive, cioè coincidono nella tangente . Quindi per a passeranno, inoltre, rette tangenti alla curva in altri punti.

Se due di queste tangenti coincidono in una sola retta , la curva ha in due tangenti , cioè passa due volte per , formando ivi un nodo; le rette e toccano in i due rami di curva che ivi s'incrociano. In questo caso, il punto dicesi punto doppio3.

Invece, se una delle tangenti coincide con , questa retta rappresenta tre

[p. 346 modifica]tangenti successive , ed il punto può considerarsi come un punto doppio, le cui tangenti coincidano (cioè, il cui nodo sia ridotto ad un punto). Nel caso che si considera, il punto dicesi cuspide o regresso o punto stazionario, perchè esso rappresenta l'intersezione della tangente con e di con ; ossia perchè, se s'imagina la curva generata da un punto mobile, quando questo arriva in si arresta, rovescia la direzione del suo moto e quindi passa dalla parte opposta della tangente (tangente cuspidale).

Dalle formole di Plücker, che saranno dimostrate in seguito (Art. XVI), si raccoglie che una curva-luogo di dato ordine non ha in generale punti doppi nè cuspidi, bensì tangenti doppie e flessi; e che una curva-inviluppo di data classe è in generale priva di tangenti singolari, ma possiede invece punti doppi e punti stazionari.

Però, se la curva è di natura speciale, vi potranno anche essere punti o tangenti singolari di più elevata moltiplicità. Una tangente si dirà multipla secondo il numero , ossia pla, quando tocchi la curva in punti, i quali possono essere tutti distinti, o in parte o tutti coincidenti. Un punto si dirà pla, quando per esso la curva passi volte, epperò ammetta ivi tangenti tutte distinte, ovvero in parte o tutte sovrapposte.

31. Se una curva ha un punto pla , ogni retta condotta per sega ivi volte la curva, onde il punto equivale ad intersezioni della retta colla curva. Ma se la retta tocca uno de' rami della curva, passanti per , essa avrà in comune con questa anche quel punto di esso ramo che è successivo ad ; cioè questo punto conta come <almeno> intersezioni della curva colla tangente. Dunque, fra tutte le rette condotte per ve ne sono al più (le tangenti agli rami) che segano ivi la curva in punti coincidenti; epperò, se vi fossero rette dotate di tale proprietà, questa competerebbe ad ogni altra retta condotta per , cioè sarebbe un punto multiplo secondo il numero .

Analogamente: se una curva ha una tangente multipla secondo , questa conta per tangenti condotte da un punto preso ad arbitrio in essa, ma conta per <almeno> tangenti rispetto a ciascuno de' punti di contatto della curva con . Cioè da ogni punto di partono tangenti coincidenti con ; e vi sono al più punti in questa retta, da ciascun de' quali partono tangenti coincidenti colla retta stessa. Onde, se vi fosse un punto di più, dotato di tale proprietà, questa spetterebbe a tutt' i punti di , e per conseguenza questa retta sarebbe una tangente multipla secondo .

Da queste poche premesse segue che:

Se una linea dell'ordine ha un punto plo , essa non è altro che il sistema di rette concorrenti in . Infatti, la retta che unisce ad un altro punto qualunque del luogo ha, con questo, punti comuni, epperò fa parte del luogo medesimo. [p. 347 modifica] Così, se un inviluppo della classe ha una tangente pla, esso è il sistema di punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine non può avere, oltre ad un punto plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe non può avere una tangente pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.



Note

  1. Plücker, Theorie, der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 200.
  2. I due punti di contatto possono essere imaginari senza che la retta cessi d'essere reale e di possedere tutte le proprietà di una tangente doppia.
  3. Le due tangenti ponno essere imaginarie, epperò imaginari anche i due rami della curva, rimanendo reale il punto d'incrociamento . Questo è, in tal caso, un punto isolato, e può considerarsi come un'ovale infinitesima o evanescente.