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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. V.

Definizioni relative alle linee piane.

28. Una linea piana può considerarsi generata dal movimento {continuo} di un punto o dal movimento di una retta: nel primo caso, essa è il luogo di tutte le posizioni del punto mobile; nel secondo, essa è l’inviluppo delle posizioni della retta mobile¹.

Una retta, considerata come luogo de’ punti situati in essa, è il più semplice esempio della linea-luogo.

Un punto, risguardato come inviluppo di tutte le rette incrociantisi in esso, è il caso più semplice della linea-inviluppo.

Un luogo dicesi dell’ordine $n$, se una retta qualunque lo incontra in $n$ punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti). Il luogo di primo ordine è la retta. Un sistema di $n$ rette è un luogo dell’ordine $n$. Due luoghi, i cui ordini siano rispettivamente $n,\,n'$ formano insieme un luogo dell’ordine $n+n'$.

Un luogo dell’ordine $n$ non può, in virtù della sua definizione, essere incontrato da una retta in più di $n$ punti. Dunque, se un tal luogo avesse con una retta più di $n$ punti comuni, questa sarebbe parte di quello, cioè tutt’i punti della retta apparterrebbero al luogo.

Una linea curva di dato ordine si dirà semplice, quando non sia composta di linee d’ordine inferiore.

Un inviluppo dicesi della classe $n$, se per un punto qualunque passano $n$ posizioni della retta inviluppante, ossia $n$ rette tangenti (reali, imaginarie, distinte o coincidenti). L’inviluppo di prima classe è il punto. Un sistema di $n$ punti è un inviluppo della classe $n$. Due inviluppi, le cui classi siano $n,\,n'$, costituiscono, presi insieme, un inviluppo della classe $n+n'$.

Se ad un inviluppo della classe $n$ arrivano più di $n$ tangenti da uno stesso punto, questo appartiene necessariamente a quell’inviluppo, cioè tutte le rette condotte pel punto sono tangenti dell’inviluppo medesimo.

Una curva-inviluppo di data classe si dirà semplice, quando non sia composta di inviluppi di classe minore.

29. Consideriamo una curva-luogo dell’ordine $n$. Se $a$ è una posizione del punto generatore, ossia un punto della curva, la retta ${\rm {A}}$ che passa per $a$ e per la successiva posizione del punto mobile è la tangente alla curva in quel punto. Cioè, la curva luogo

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1. Plücker, Theorie der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 200.