Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Punti e tangenti comuni a due curve

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Art. 6. Punti e tangenti comuni a due curve

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Definizioni relative alle linee piane Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

[p. 347 modifica] 32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano ? [46] Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri , talché rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d'ordine si sostituiscono rette, queste incontrano la curva d'ordine in punti; dunque: due curve, i cui ordini siano , si segano in punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).

Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.

Se per un punto passano rami di una curva ed di un'altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde equivarrà ad intersezioni. In generale, se in le due curve hanno tangenti comuni, equivale ad punti comuni alle due curve.

Come caso speciale, quando le tangenti della prima curva e le dell'altra, nel punto comune , coincidono tutte insieme in una sola retta , questa, supposto , rappresenta tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in sarà . Ma questo numero può divenir più grande [47], ogniqualvolta la retta abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di od punti riuniti in . Per esempio, se in la retta avesse punti comuni colla prima curva ed colla seconda, il punto equivarrebbe ad intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di curve [p. 348 modifica] di second' ordine aventi un punto comune ed ivi toccate da una stessa retta ; ed inoltre un'altra curva qualunque dotata di rami passanti per ed ivi aventi la comune tangente . In tal caso il punto rappresenta intersezioni di con ciascuna delle curve ; epperò equivale ad punti comuni a ed al sistema completo delle curve .

Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano , hanno tangenti comuni. Ecc.1


Note

  1. Le proprietà delle curve di data classe si deducono dalle proprietà delle curve di dato ordine, e reciprocamente, mediante il principio di dualità, che noi consideriamo come primitivo ed assoluto, cioè indipendente da qualsivoglia teoria speciale di trasformazione di figure.