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della conica inscritta (o tre punti arbitrarii della conica circoscritta) come lati (o rispettivamente come vertici) d’un nuovo triangolo fondamentale. In tal caso importa conoscere le espressioni delle x, y, z (o delle p, q, r) in funzione delle tre tangenti (o dei tre punti), e ciò può farsi nel modo seguente.

Ponendo

$[\lambda ]=Ax(\lambda -b)(\lambda -c)+By(\lambda -c)(\lambda -a)+Cz(\lambda -a)(\lambda -b)$,

ed osservando che $[\lambda ]$ è una funzione intera di 2° grado in $\lambda$, si ha dal Lemma (III) l’identità

$\sum _{k=1}^{k=4}{\frac {[\lambda _{k}]}{f'(\lambda _{k})}}=0$,

dove

$f(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3})(\lambda -\lambda _{4})$.

Questa è una relazione identica fra quattro tangenti arbitrarie, purchè distinte, di parametri $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, $\lambda _{4}$, la quale permette di esprimere una tangente qualunque per mezzo di tre tangenti fissate ad arbitrio. Ora avendosi, in particolare,

	$[a]=(a-b)(a-c)Ax$,
	$[b]=(b-c)(b-a)By$,
	$[c]=(c-a)(c-b)Cz$,

è chiaro che, col mezzo della precedente relazione, si possono ottenere le espressioni di x, y, z in funzione di $[\lambda _{1}]$, $[\lambda _{2}]$, $[\lambda _{3}]$; basta fare successivamente $\lambda _{4}=a$, $\lambda _{4}=b$, $\lambda _{4}=c$.

In base allo stesso Lemma (III) si può ottenere una relazione fra m tangenti, per $m\geq 4$, dall’identità

$\sum _{k=1}^{k=m}{\frac {\psi (\lambda _{k})[\lambda _{k}]}{F'(\lambda _{k})}}=0$,

dove

$F(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})\dots (\lambda -\lambda _{m})$,